1) Pour x > 0, 2+x > 0, donc f est bien définie, et par définition de la fonction racine carrée, elle est positive, donc f(x) > 0.
2) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, .
Initialisation: A l'ordre n=0, , comme , donc .
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que , et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que .
On remarque que , avec .
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f'.
.
A la question 1, on a vu que pour x > 0, .
Donc , quand .
Donc f est croissante sur .
D'après l'hypothèse de récurrence:
.
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, .
3) .
4)
Donc .
5) On peut conjecturer que pour tout entier naturel n, .
6) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, .
Initialisation: A l'ordre n=0, .
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que , et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que .
On a:
.
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, .
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Brzelise
Merci beaucoup encore une fois. Vous m'êtes d'une grande aide car même si je comprends les maths il n'est pas toujours évident de trouver ce qu'il faut faire. Merci encore je vais étudier votre réponse.
godetcyril
Oui cet exercice était assez difficile.
Lista de comentários
Réponse : Bonsoir,
1) Pour x > 0, 2+x > 0, donc f est bien définie, et par définition de la fonction racine carrée, elle est positive, donc f(x) > 0.
2) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n,
.
Initialisation: A l'ordre n=0,
, comme ![\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; \cos \theta > 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctheta%20%5Cin%20%5D0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5B%2C%20%5C%3B%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%3E%200 "\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; \cos \theta > 0")
, donc 
.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que
, et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que 
.
On remarque que
, avec 
.
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f'.
A la question 1, on a vu que pour x > 0,
.
Donc
, quand ![x \in ]0;+\infty[](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%5Cin%20%5D0%3B%2B%5Cinfty%5B "x \in ]0;+\infty[")
.
Donc f est croissante sur![]0;+\infty[](https://tex.z-dn.net/?f=%5D0%3B%2B%5Cinfty%5B "]0;+\infty[")
.
D'après l'hypothèse de récurrence:
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n,
.
3)![u_{1}=\sqrt{2+u_{0}}=\sqrt{2+2 \cos \theta}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{2})}{2}\right)}\\u_{1}=\sqrt{2^{2}\cos^{2}(\frac{\theta}{2})}=2 |\cos(\frac{\theta}{2})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; donc \; \frac{\theta}{2} \in ]0;\frac{\pi}{4}[, \; et \; donc \; \cos(\frac{\theta}{2}) > 0.\\Donc \; u_{1}=2\cos(\frac{\theta}{2})](https://tex.z-dn.net/?f=u_%7B1%7D%3D%5Csqrt%7B2%2Bu_%7B0%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2%2B2%20%5Ccos%20%5Ctheta%7D%3D%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos%20%5Ctheta%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%3D%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos%282%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%5C%5Cu_%7B1%7D%3D%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%7D%3D2%20%7C%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%7C%5C%5C%5Ctheta%20%5Cin%20%5D0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5B%2C%20%5C%3B%20donc%20%5C%3B%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%5Cin%20%5D0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5B%2C%20%5C%3B%20et%20%5C%3B%20donc%20%5C%3B%20%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%20%3E%200.%5C%5CDonc%20%5C%3B%20u_%7B1%7D%3D2%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29 "u_{1}=\sqrt{2+u_{0}}=\sqrt{2+2 \cos \theta}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{2})}{2}\right)}\\u_{1}=\sqrt{2^{2}\cos^{2}(\frac{\theta}{2})}=2 |\cos(\frac{\theta}{2})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; donc \; \frac{\theta}{2} \in ]0;\frac{\pi}{4}[, \; et \; donc \; \cos(\frac{\theta}{2}) > 0.\\Donc \; u_{1}=2\cos(\frac{\theta}{2})")
.
4)![u_{2}=\sqrt{2+u_{1}}=\sqrt{2+2\cos(\frac{\theta}{2})}=\sqrt{2^{2} \left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{4})}{2}\right)}=\sqrt{2^{2} \cos^{2}(\frac{\theta}{4})}\\u_{2}=2|\cos(\frac{\theta}{4})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \cos(\frac{\theta}{4}) > 0](https://tex.z-dn.net/?f=u_%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B2%2Bu_%7B1%7D%7D%3D%5Csqrt%7B2%2B2%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%29%7D%3D%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos%282%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%7D%29%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%3D%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%20%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%7D%29%7D%5C%5Cu_%7B2%7D%3D2%7C%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%7D%29%7C%5C%5C%5Ctheta%20%5Cin%20%5D0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5B%2C%20%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%7D%29%20%3E%200 "u_{2}=\sqrt{2+u_{1}}=\sqrt{2+2\cos(\frac{\theta}{2})}=\sqrt{2^{2} \left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{4})}{2}\right)}=\sqrt{2^{2} \cos^{2}(\frac{\theta}{4})}\\u_{2}=2|\cos(\frac{\theta}{4})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \cos(\frac{\theta}{4}) > 0")
Donc
.
5) On peut conjecturer que pour tout entier naturel n,
.
6) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n,
.
Initialisation: A l'ordre n=0,
.
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que
, et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que 
.
On a:
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n,
.