Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Taux de variation entre 1 et 1+h=[k(1+h)-k(1)] / (1+h-1)=[k(1+h)-k(1)] / h

k(1+h)=5/(1+h)²

k(1)=5/1²=5

k(1+h)-k(1)=5/(1+h)²- 5

On réduit au même dénominateur :

k(1+h)-k(1)=[5 -  5(1+h)² ] / (1+h)² ==>(1+h)²=1+2h+h² : OK ?

k(1+h)-k(1)=(5-5-10h-5h²) / (1+h)²

k(1+h)-k(1)=(-10h-5h²) / (1+h)²

On met h en facteur :

k(1+h)-k(1)=h(-5h-10) / (1+h)²

t(h)=[k(1+h)-k(1)] / h

t(h)=[ h(-5h-10) / (1+h)²] / h

t(h)=h(-5h-10) / h(1+h)²

On simplifie par "h" qui est ≠ 0 :

t(h)=(-5h-10) / (1+h)²

2)

La fct k est dérivable en 1 si et seulement  t(x) a une limite quand h tend vers zéro.

lim t(h)= lim [(-5h-10) / (1+h)²]=-10/1²=-10

Donc k '(1)=-10