Réponse :

1) montrer que son aire S = 1/2(bcsin Â)

soit H le pied de la hauteur issue de C

on obtient le triangle ACH rectangle en H

sin  = CH/AC ⇒ CH = AC x sin  = b x sin Â

S = 1/2 (CH x AB)

   = 1/2(b x sin   x c)

   = 1/2(bc x sin Â)

2) en déduire la formule des sinus

CH = b x sin Â

soit le triangle BCH rectangle en H ⇒ sin ^B = CH/BC ⇒ CH = BC x sin ^B

d'où  CH = a x sin ^B

 donc   b x sin  = a x sin ^B ⇔ a/sin  = b/sin ^B

soit H' le pied de la hauteur issue de A

le triangle ACH' rectangle en H' ⇒ sin ^C = AH'/AC ⇒ AH' = AC x sin ^C

AH' = b x sin ^C

Le triangle ABH' rectangle en H' ⇒ sin ^B = AH'/AB ⇒ AH' = AB x sin ^B

AH' = c x sin ^B

Donc   b x sin ^C = c x sin ^B  ⇔ b/sin ^B = c/sin ^C

Donc  on obtient :  a/sin  = b/sin ^B = c/sin ^C  

Explications étape par étape