Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Partie A :

1)

a)

f(x)=-4x+20ln(x)

f '(x)=-4+(20/x)

On réduit au même déno :

f '(x)=(-4x+20)/x

b)

Sur [1;12], le dénominateur est > 0 donc f ' (x) est du signe de (-4x+20).

-4x+20 > 0 ==> x < 5

Variation :

x------->1...................5..................12

f '(x)--->............+......0.........-..........

f(x)---->f(1).....C........f(5).....D.......f(12)

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend

f(1)=-3

f(5) ≈ 13.189

f(12) ≈ 2.698

2)

a)

Sur [1;5] , la fct f(x) est continue et strictement croissante , passant d'une valeur négative égale à -3  pour x=1 à une valeur positive ≈ 13.189 pour x=5. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α telq ue f(α)=8.

b)

La calculatrice donne :

α ≈ 2.21

car f(2.20) ≈ 7.9691 et f(2.21) ≈8.0199

3)

a)

Il nous faut la dérivée de 20x*ln(x) qui est de la forme u*v.

u=20x donc u'=20

v=ln(x) donc v'=1/x

(20x*ln(x))'=u'v+uv'=20*lnx+(20x/x)=20*ln(x)+20

Donc :

F '(x)=-4x-19+20*ln(x)+20

F '(x)=-4x+1+20*ln(x)=f(x)

b)

ln8=ln(2^3)=3ln2

F(8)=-2*8²-19*8+20*8*3*ln(2)

Donc :

F(8)=-280+480ln(2)

ln(4)=2ln(2)

F(4)=-2*4²-19*4+20*4*2ln(2)

F(4)=-108+160ln(2)

b)

[F(8)-F(4)]/4=[-280+480ln(2)+108-160ln(2)] / 4

[F(8)-F(4)]/4=(-172+320ln(2)) /4

[F(8)-F(4)]/4=-43 + 80ln(2)

Partie B :

1)

D'après la partie A , 1)b) , il faut fabriquer 500 pièces.

f(5) ≈ 13.189 milliers d'€ soit 13189 €.

2)

On doit résoudre :

-4x + 1 +20ln(x) > 8

D'après 2b et le tableau de variation de f(x) , il faut fabriquer entre 221 et 951 pièces.

3)

-43 + 80ln(2) ≈  12.452

Bénéfice moyen: 12 452 € environ.