Exercice 2bis:

Pour toutes les questions de cet exercice, l'idée est de tester différents cas avec des signes différents et puis bien se rappeler le cours (je te propose quelques liens en fin de message pour réviser)

Grosso-modo on a 4 cas:

Cas #1  x est positif et  y est positif

Cas #2  x est négatif et  y est positif

Cas #3  x est positif et  y est négatif

Cas #4  x est négatif  et  y est négatif

Le truc, c'est que ça peut marcher quand x et y sont de mêmes signes, mais ne fonctionnent souvent pas quand ils sont de signes opposés.

C'est ce qu'il faut regarder dans le raisonnement

a) Testons avec le cas #1, ça semble être vrai:  |2+3| = 5 = |2| + |3|

cas #2, là en revanche ça le fait pas: |-2+3| = |1| = 1 alors que |-2| + |3| = 2 + 3 = 5

cas #3, ça ne marche pas non plus: |2-3| = |-1| = 1 alors que |2| + |-3| = 2 + 3 = 5

cas #4, là ça marche: |-2-3| = |-5| = 5 = |-2| + |-3| = 2 + 3

Conclusion: la proposition |x+y| = |x| + |y| est fausse pour tous les réels x et y.

Un contre-exemple est lorsque les signes de x et y sont opposés. Tu peux prendre l'exemple de ton choix.

b) On a vu au a) que ça marche dans le cas #1 et le cas#4, lorsque x et y sont de mêmes signes.

Conclusion: la proposition est vraie, car il y a bien deux nombres réels x et y tels que |x+y| = |x| + |y|, (mais forcément pas tous).

c) cas #1, c'est ok: |2| = |2| alors 2 = 2

cas #2, c'est pas ok: |-2| = 2 = |2| est vrai alors que -2 = 2 est faux!

cas #3, c'est pas bon non plus: |2| = 2 = |-2| est vrai alors que 2 = -2 est faux!

cas #4, ça marche à nouveau (mêmes signes): |-2| = 2 = |-2| alors -2 = -2

Conclusion: la proposition |x| = |y| alors x = y est fausse.

Un contre-exemple est lorsque les signes de x et y sont opposés. Tu peux prendre l'exemple de ton choix.

d) |x| <= |y| alors x <= y

cas #1, c'est bon: |2| <= |3| alors 2 <= 3

cas #2, ça marche aussi: |-2| <= |3| alors -2 <= 3

cas #3, c'est pas ok: |2| <= |-3| alors 2 <= -3

cas #4, c'est pas bon non plus: |-2| <= |-3| alors -2 <= -3

Conclusion: la proposition |x| <= |y| alors x <= y est fausse.

Un contre-exemple est lorsque le signe de y est négaitf. Tu peux prendre l'exemple de ton choix avec tes valeurs dans le cas #3 et le cas #4.

J'espère que ça répond à ta question, que ça t'aide et que tu as compris.

Tu sembles avoir un bon niveau pour avoir résolu les premiers exos.

N'hésite pas à revoir le cours sur les valeurs absolues:

https://youtu.be/5-rUuceEgAE

et faire quelques exos:

https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/niveau-seconde#2

tu comprendras vraiment facilement comment raisonner dans différents cas face un problème.

Bonne chance