Réponse :

Explications étape par étape :

Q14.1) L"énoncé est long. Commence par lire la question : T° mini et maxi pour une bonne cuisson.

Puis, lis l'énoncé : 150°C +- 5%  . On transforme ça en intervalle.

a= 5% de 150 ? le mini , c'est 150-a °C . Idem pour le max.

Q14.2) Pareillement, on repère les mots-clés de la question

* La T° mini désirée est Tmin= 142,5 °C .

* encadrement temps pour atteindre Tmin

f(t) c'est quoi ? c'est la temp. du four en °C . OK Recherche dans le tableau le temps t qui donne la temp juste avant Tmin, et le temps suivant qui donne la temps juste après. Tu réponds en justifiant.

Q14.3) f' dérivée de f. C'est facile c'est une question de cours. f(t) est une fonction polynomiale : f(t) = 0,1 t³ - 3,7 t² +42,4 t

Tu sais que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et que la dérivée de a X puissance n est a.n X puissance n-1

souviens-toi que a . X  = a. X  puissance 1

souviens-toi aussi que X puissance 0 = 1

souviens toi enfin que une constante K (sans lien avec la variable X) a une variation nulle suivant X , donc sa dérivée suivant X est nulle.

Donc on prend u(t)=0,1 t³ on dérive ça donne u'(t) = 0.1 fois 3 fois x²

tu fais de même pour v(t) = - 3,7 t²  v'(t) = ...

et pour w(t) = 42,4 t on a w'(t) = ..

puis f'(t) = u'(t) +v'(t) +w'(t)

Q14.4) le tableau des signes se présente ainsi (vide) :

première ligne première colonne : je mets t (minutes)

première ligne deuxème colonne longue : elle commence par [6 elle se termine par 21]

seconde ligne première case : je note f'(t)

dans la 2eme case, sous 6, je mets la valeur de f'(6)  (tu trouves 8,8 ?)

sous 21, je mets la valeur f'(21)  (moi je trouve 19,3)

On nous demande un tableau de signe. Ca commence par +, ca finit par +  . Mais entre les deux ?

Et bien, entre les deux, s'il y a changement de signe, c'est en passant par  f'(t) =0 . Or f' est un polynome du 2e degré. On va donc résoudre une équa du 2nd degré.

0,3 t² - 7,4 t + 42,4 = 0

Δ = b² - 4 ac avec a = 0,3  b = -7,4  c=42,4

Calcule ensuite √Δ puis nos solutions qui vérfient l'équation sont

t1 = (-b - √Δ ) / 2a   et  t2 = (-b + √Δ ) / 2a

Tu verras que t1 et t2 sont dans notre intervalle [6;21]

Donc, tu positionnes t1 et t2 dans la première ligne

Sous ces valeurs, tu mets f'(t1) soit 0 et pareillement pour t2

Ce qui te donne comme tableau

__t(min)__|_[6___9,05_____15____21]

__f'(t)____|_8,8 +    0       -       0   +    19,3

Q14.5) C'est le début d'un tableau de variations : quand f' est positif, la fonction f est croissante , quand f' est nul, f atteint un extremum, et enfin quanf f' est négative, f décroit.

Q14,6) c'est fait

Q14.7) Bon, on avait dit quoi comme temps pour un gateau réussi ? Entre 6mn et 6mn et demie ?

Q14.8)  Outil numérique : calculette, ou mieux tableur genre Excel, ou les gratuits en ligne (ex : Google Sheets) . Pour tracer : tu prolonge le tableau t (min)   f(t) °C  qui dans l'énoncé s'arrête à 7. Donc, prolonge en caculant tous les points espacés de une demie-minute. jusque 21.

Q14.9) Quelle problématique ? Le gâteau de Leslie sera-t-il réussi ?

OK, pour être réussi :

- atteindre la t° entre min et max

- rester dans cette fourchette 15mn

- ne pas dépasse tmax plus de 2mn

- ne pas descendre sous tmin plus de 4mn

Ca doit se voir en regardant la courbe.

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Q15 ) Tu as la méthode, fais le

Pour l'élève : sa dérivée est ok

2 et 26 ? Je vérifie : pour 2 = -9 fois 4 + 250 fois 2 moins 500 = -36 et non zéro !

pour 26 : -9x26x26 +250x26 - 500 = -84 et non zéro !

Si je résouds : -9x² + 250x-500 = 0

Δ= 250² -4 fois (-9)(-500) = 62500-18000=44500

√Δ = 210,95

tu as le reste de la méthode tu trouves x1= 51,21 et x2 = ..

Bonne journée.