Bonjour j’ai besoin d’aide pour mon DM 3) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct (0;7,j), deux réels a et b étant fixés, on
appelle A le point image de a sur le cercle trigonométrique, et B celui de a+b.
a) décomposer les vecteurs OA et OB sur les vecteurs 7 et j
(en fonction de a et b)
b) Justifier que le vecteur OA est de norme 1.
c) en utilisant 2), expliquer pourquoi si on pose k=-sin (a)i+cos (a)j, le repère (0;0A,k) est
aussi orthonormé direct.
d) Dans le cercle trigonométrique associé à ce repère (0;0A,K), donner, sans justifier, un réel
simple dont B est le point image.
e) en déduire que OB=cos (b)OA+sin (b) k
f) En déduire une décomposition de OB sur les vecteurs 7 et j
g) En déduire : cos (a+b)= cos(a) cos (b)-sin(a) sin (b) et sin (a+b)=sin(a)cos (b)+cos (a)sin (b)
4) Application 1 : qu'obtient-on ainsi dans le cas où on a choisi a= et b= ?
5) Application 2: Justifier que
√2=cos
6) Application 3: on pose t=cos
25
2 TT
8
2 TT
8
-sin
et u=cos
2 TT
5
TT
5
TT
puis déduire la valeur exacte de cos-
8
:
i) montrer que 1=2 u²-1 et que 21²-1=-u puis en déduire que 1=81-87² +1
ii) Vérifier, en développant et réduisant, que (4²+21-1) (2t+1) (t-1)=8-81²-1+1
iii) Déduire ainsi de i) et ii) que t vérifie nécessairement 41² +21-1=0
iv) En déduire la valeur exacte de cos
puis celle de cos (et reconnaître son double...)