Réponse :

1) a) justifier que Cf est au dessus de Cg

       f(x) - g(x) = 1/x) - 1/(x+1)  = (x + 1 - x)/x(x+1) = 1/x(x+1)

or  x ≥ 1  ⇒ x > 0  puisque  x ≠ 0

    x + 1 ≥ 2 ⇒ x + 1 > 0   puisque x ≠ - 1

donc x(x + 1) > 0   ⇒ 1/x(x+1)  > 0

donc  f(x) - g(x) > 0 donc la courbe Cf est au-dessus de Cg

b)  justifier que MN = 1/n) - 1/(n+1)

M(n ; 1/(n+1))

N(n ; 1/n)

MN² = ( n - n)² + ((1/n) -1/(n+1))² ⇒ MN = √[(1/n) - 1/(n+1)]² = 1/n) - 1/(n+1)

2) la suite (Un) est définie pour tout n ≥ 1 par Un = 1/n) - 1/(n+1)

      a) calculer Un+1 en fonction de n

           Un+1 = (1/(n+1) - 1/((n+1) + 1)

                     = 1/(n+1) - 1/(n+2)

     b) démontrer que Un+1/Un = n/(n+2)

        Un+1/Un = [1/(n+1) - 1/(n+2)]/((1/n) - 1/(n+1))

                       = [(n+2) - (n + 1)]/((n+1)(n+2)/[(n+1) - n]/n(n+1)

                       =  1/(n+1)(n+2)/1/n(n+1)

                       = n(n+1)/(n+1)(n+2)

                       = n/(n+2)

          c) déduis-en le sens de variations de la suite (Un)

             puisque  Un+1/Un = n/n+2    or  n ≥ 1  donc n > 0 et n +2 ≥ 3  donc n+2 > 0  donc  n/(n+2) > 0 ⇒ Un+1/Un > 0  donc la suite (Un) est croissante sur N

3) a) vérifier que ln = U1 + U2 + .... + Un = 1 - 1/(n+1)

                               =  (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + .... + (1/n - 1/(n + 1))

                               = 1 + 1/2 + 1/3 + ....+ 1/n) - (1/2 + 1/3 + ....+ 1/n + 1/(n+1)  

                               =  1  - 1/(n+1)

    b) pourquoi ln < 1 pour tout entier naturel n ≥ 1 ?

                ln = 1 - 1/(n+1)

n ≥ 1 ⇒ n + 1 ≥ 2  ⇒ 1/(n+1) ≥ 1/2  donc  - 1/(n+1) ≤ - 1/2 ⇔ 1 - 1/(n+1) ≤ - 1/2)+1

donc  1 - 1/(n+1) ≤ 1/2  donc ln < 1

Explications étape par étape