Explications étape par étape:

Bonjour, il te faut connaître la méthodologie d'une récurrence. Si, de base, les fondamentaux ne sont pas acquis, toutes les autres récurrences te seront impossibles. Pour initialiser, je te laisse procéder.

Pour l'hérédité, tu fixes un entier naturel n > ou = à 1 conformément à l'énoncé. On suppose la propriété vraie au rang, on prouve sa véracité au rang n+1.

Par hypothèse, Somme de k allant de 1 à n de k*k ! = (n+1)! - 1. En ajoutant le (n+1)ème terme de la somme, elle part de 1 à n+1, et on obtient (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)! = (n+2)(n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (propriété des factorielles).

Remarque : Tu pouvais aussi y parvenir sans récurrence, par le biais d'une astuce, en écrivant k = k + 1 - 1.

Somme de k allant de 1 à n de k*k ! = Somme de k allant de 1 à n de (k+1-1)*k! = Somme de k allant de 1 à n de (k+1)! - k!. Cette somme est télescopique, tous les termes s'annulent, sauf le 1er et le dernier, il reste donc (n+1)! - 1