Réponse:

Soit la propriété P(n) :

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1

initialisation

pour n=1

1×1! = 1×1 =1

et

(1+1)!-1 = 2!-1 = 1×2-1 = 1

P(1) est vraie

hérédité

supposons P(n) vraie pour un entier naturel n non

nul

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!-1 + (n+1)×(n+1)!

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!×[1 +(n+1)]-1

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+1)!×(n+2)-1

1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! + (n+1)×(n+1)! = (n+2)!-1

P(n+1) est vraie.

conclusion

La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc 1 + 2×1×2 + 3×1×2×3 +...+n×n! = (n+1)!-1 est vraie pour tout entier naturel n≥ 1