bonjour j'ai besoin de votre aide pour la question B
Soit Pla parabole d'équation y=x² dans un repère orthogonal et soit A un point de d'abscisse a.
A. Cas particulier : a=3.
1. Faire une figure précise qui sera complétée aux questions 2. et 3.
2. Déterminer le nombre dérivé de f en 3, f'(3), puis l'équation réduite de la tangente T, à la parabole Pau point A d'abscisse 3.
3. Soit H, le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées et I, le point d'intersection de T, avec l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de H et de I. Que peut-on dire de ces deux points?
4. En déduire une méthode de construction géométrique de la tangente T, à la parabole
B. Cas général: a est un réel quelconque. 1. Déterminer, en fonction de a, le nombre dérivé de f en a, f'(a), puis l'équation réduite de la tangente T à la parabole Pau point A. a 2. Soit H, le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées et I, le point d'intersection de Ta avec l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de H et de I en fonction de a. Que peut-on dire de ces deux points? 3. En déduire une méthode de construction géométrique de la tangente en un point quelconque de la parabole P C. Peut-on trouver une méthode similaire pour tracer la tangente en un point quelconque de la courbe : 1. de la fonction cube? 2. de la fonction inverse ?
Soit Pla parabole d'équation y=x² dans un repère orthogonal et soit A un point de d'abscisse a.
A. Cas particulier : a=3.
1. Faire une figure précise qui sera complétée aux questions 2. et 3.
2. Déterminer le nombre dérivé de f en 3, f'(3), puis l'équation réduite de la tangente T, à la parabole Pau point A d'abscisse 3.
3. Soit H, le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées et I, le point d'intersection de T, avec l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de H et de I. Que peut-on dire de ces deux points?
4. En déduire une méthode de construction géométrique de la tangente T, à la parabole
B. Cas général: a est un réel quelconque. 1. Déterminer, en fonction de a, le nombre dérivé de f en a, f'(a), puis l'équation réduite de la tangente T à la parabole Pau point A. a 2. Soit H, le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées et I, le point d'intersection de Ta avec l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de H et de I en fonction de a. Que peut-on dire de ces deux points? 3. En déduire une méthode de construction géométrique de la tangente en un point quelconque de la parabole P C. Peut-on trouver une méthode similaire pour tracer la tangente en un point quelconque de la courbe : 1. de la fonction cube? 2. de la fonction inverse ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
A. Cas particulier : a=3.
1. La figure représentant la parabole d'équation y=x² avec un point A d'abscisse 3 sera une courbe en forme de U renversé, passant par le point (3,9) et ayant pour symétrique par rapport à l'axe des ordonnées l'équation y = -x².
2. Le nombre dérivé de f en 3 est f'(3)= 2*3 = 6. L'équation réduite de la tangente T à la parabole P en A(3) est y-9 = 6(x-3), ou y = 6x + 3
3. Le point H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées, il a pour coordonnées (0,9). Le point I est le point d'intersection de T avec l'axe des ordonnées, il a pour coordonnées (0,9). On peut dire que H est le sommet de la parabole P et que I est le point d'abscisse 0 de la tangente T.
4. Pour construire géométriquement la tangente T à la parabole P en A(3), on peut utiliser les propriétés de symétrie de la parabole et dessiner la tangente en utilisant le point d'intersection avec l'axe des ordonnées et la pente de la tangente (6).
B. Cas général: a est un réel quelconque.
1. Le nombre dérivé de f en a est f'(a)= 2*a. L'équation réduite de la tangente T à la parabole P en A(a) est y-a² = 2a(x-a), ou y = 2ax - a² + a.
2. Le point H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées, il a pour coordonnées (0,a²). Le point I est le point d'intersection de T avec l'axe des ordonnées, il a pour coordonnées (0,a²). On peut dire que H est le sommet de la parabole P et que I est le point d'abscisse 0 de la tangente T.
3. Pour construire géométriquement la tangente T à la parabole P en A(a), on peut utiliser les propriétés de symétrie de la parabole et dessiner la tangente en utilisant le point d'intersection avec l'axe des ordonnées et la pente de la tangente (2a).
C.
1. Pour tracer la tangente en un point quelconque de la courbe de la fonction cube, on peut utiliser la même méthode en utilisant la dérivée de la fonction cube en ce point et en utilisant la propriété de symétrie de la courbe.
2. Pour tracer la tangente en un point quelconque de la courbe de la fonction inverse, il est nécessaire de disposer de la dérivée de cette fonction. Pour certaines fonctions inverses, comme la fonction inverse d'une fonction polynôme ou logarithmique, il est possible de la dériver, mais pour d'autres fonctions inverses, comme la fonction inverse d'une fonction exponentielle, il est plus difficile de dériver la fonction inverse, donc il est plus difficile de tracer la tangente en un point quelconque de cette courbe. Il est important de noter que la fonction inverse n'est dérivable qu'en un point où elle est strictement croissante ou décroissante.