Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

je vais noter exp() pour la fonction exponentielle

f(x)= 5 + (x-4)exp(-x)

a)

pour connaitre la monotonie d une fonction nous pouvons etudier le signe de sa derivee

f est derivable sur [0;5] car somme et composee de fonctions qui le sont

ainsi f'(x) = exp(-x) + (x-4)(-exp(-x))

f'(x) = exp(-x) - (x-4) exp(-x)

f'(x) = (1-x+4)exp(-x)

f'(x) = (5-x)exp(-x)

pour x <= 5 (5-x) >= 0

et exp(-x) >= 0  

donc f'(x) >= 0 pour 0 <= x <= 5

f est donc croissante sur cette intervalle

b)

D est le point de C et d abscisse 0

f(0) = 5 - 4 = 1

la tangent a C au point D est

y - 1 = f'(0) (x - 0) et comme f'(0) = 5

y = 5x +1

pour x = 4

y = 20+ 1 = 21

donc le point D n est pas sur la tangente

utilise geogebra pour voir la courbe representative

C est tres facile a utiliser et ca permet de controler les resultats

c)

l equation de la tangente en ce point est

y - f(5) = f'(5) (x-5)

or f'(5) = 0

donc c est de la forme y = constante

c est bien une droite parallele a l axe des abscisses

d)

f(5) = 5 + exp(-5)

or exp(-5) > 0

donc f(5) > 5

e)

pour x > 10

f(x) < 10^(-3) ?

j y crois pas trop

f(x) = 5 + (x-4)exp(-x)

exp(-x) > 0 et (x-4) > 0 pour x> 10

du coup f(x) > 5 pour x > 10

ca va etre dur de passer en dessous de 0.001 quand on est au dessus de 5 :-)

donc, e) n est pas vraie