Bonjour, j'ai ce dm de maths à faire pendant les vacances mais j'ai du mal pour certaines questions. Serait-il possible de m'aider à le résoudre, tout en expliquant de façon à ce que je puisse comprendre et réussir ce type d'exercices par la suite?
Je mets le dm en pièce jointe. Merci d'avance.
Je mets le dm en pièce jointe. Merci d'avance.
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1a) En posant X = sin(z), l'équation (E) devient : 2X + X - 1 = 0.
1b) On résout l'équation 2X + X - 1 = 0 :
2X + X - 1 = 0
3X - 1 = 0
X = 1/3
Donc sin(z) = 1/3, et z appartient à {arcsin(1/3) + 2kπ, π - arcsin(1/3) + 2kπ}, k entier relatif.
1c) On a trouvé que sin(z) = 1/3, donc z appartient à {arcsin(1/3) + 2kπ, π - arcsin(1/3) + 2kπ}, k entier relatif. Dans (0;2π), cela donne z ≈ 0,3397 rad et z ≈ 1,8016 rad.
2a) En posant Y = cos(z), l'équation (F) devient : Y + 2(1 - Y²) = 2.
2b) On résout l'équation Y + 2(1 - Y²) = 2 :
Y + 2 - 2Y² = 2
-2Y² + Y = 0
Y(1 - 2Y) = 0
Y = 0 ou Y = 1/2
Si Y = 0, alors cos(z) = 0, donc z appartient à {π/2 + kπ, 3π/2 + kπ}, k entier relatif.
Si Y = 1/2, alors cos(z) = 1/2 et z appartient à {π/3 + 2kπ, 5π/3 + 2kπ}, k entier relatif.
2c) Les solutions de (F) dans (-n; ] sont les solutions de (F) dans (-π/2; π/2), donc les solutions trouvées en 2b) pour Y = 1/2, soit z ≈ 1,0472 rad et z ≈ 5,2359 rad.
Exercice n°2
À l'étape 1, l'aire coloriée est 1/9. À l'étape 2, on colore 8 carrés supplémentaires dans chaque petit carré, donc l'aire coloriée est 1/9 + 8/81. À l'étape 3, on colore 64 carrés supplémentaires dans chaque petit carré, donc l'aire coloriée est 1/9 + 8/81 + 64/729. Et ainsi de suite.
Donc a1 = 1/9.
On peut remarquer que l'aire coloriée à l'étape n est égale à la somme de l'aire coloriée à l'étape n-1 et de 8 fois l'aire coloriée à l'étape n-2 (8 petits carrés sont coloriés dans chaque petit carré).
Donc an = an-1 + 8an-2 pour tout n ≥ 2.
On a a1 = 1/9 et a2 = 1/9 + 8/81 = 89/729.
Pour montrer que (an) est une suite