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1) pour calculer un discriminant, il faut un polynôme de degré 2, sous forme développée (ax²+bx+c=0)

c'est déjà le cas de notre expression de f(x)

on peut donc calculer le discriminant d avec la formule :

d=b²-4×a×c=(m+1)²-4×1×4=m²+2m-15

2) pour que f(x)=0 admet une UNIQUE solution, il faut que le discriminant soit nul.

cherchons les valeurs de m pour lesquelles c'est le cas :

d=0 <=> m²+2m-15=0

3 et -5 sont des racines évidentes de ce nouveau polynôme donc m doit être égal à 3 ou -5

NB : on aurait pu retrouver le résultat par dérivation puis analyse de la fonction mais cela aurait été plus long

pour ces valeurs, les racines de notre premier polynôme sont :

x=(-b +/- sqrt(d))/2=((m+1) +/- 0)/2 = (m+1)/2

3) f(x) n'admet pas de solutions ssi le discriminant est strictement negatif.

d<0 <=> m²+2m-15<0

on a deja montrer que les racines de ce polynôme sont 3 et -5

le signe de a dans notre expression est positif. le signe à l'intérieur des racines lui est opposé (theoreme)

donc pour avoir d<0, il faut que m appartienne à l'intervalle ]-5;3[

NB : ce theoreme peut facilement être compris par représentation graphique de la fonction f(x)

f(x)=0 est donc insoluble dans R pour m appartenant à ]-5;3[