Bonjour, j'ai ce DM de maths à rendre pour mardi et je me casse la tête dessus depuis 8h matin sans avancer, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?


On divise un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux obtenus en traçant les segments joignant les milieux des côtés et on enlève le triangle central. Chaque triangle non enlevé est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon le même procédé et on enlève le triangle central comme précédemment.

On décide de choisir comme unité d'aire le triangle équilatéral de départ. On note respectivement N et A le nombre de triangles bleus et l'aire bleue à l'étape n, où n est un entier positif. On a N₂ = 1 et A₂ = 1
1.Déterminer les valeurs de N et A pour les étapes 1 à 3.
2. Exprimer N en fonction de N, et A. en fonction de A. En déduire la nature de chacune des suites (N.) et (A).
3.Donner l'expression du terme général des suites N et A, en fonction de n, en déduire le nombre de triangles bleus et l'aire bleue à l'étape 10.
4. À l'aide d'un tableau de valeurs établi avec la calculatrice, déterminer à partir de quelle étape il y a plus d'un million de triangles bleus et à partir de quelle étape l'aire bleue représente moins de 1 % de l'aire initiale.
5. Quand n prend des valeurs de plus en plus grandes on dit que n tend vers plus l'infini (noté +∞ ):
a) Comment évolue alors le nombre de triangles bleus ?
b) Comment évolue alors l'aire du triangle de Sierpinski?
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