Réponse :

Explications étape par étape :

g(x)=1-x+e^x

g'(x)=-1+e^x

on etudie le signe de g'(x)

-1+e^x>0

e^x>1

x>0

            -inf          0            +inf

g'(x)            -        0      +

g(x) decroissante   croissaqnte

g(0)=2

lim g(x)=

-inf

avec lim 1-x=+inf

        -inf

lime^x=0

+inf

par somme limg(x)=+inf

                   -inf

x(1/x-1+e^x/x)

lim x=+inf

+inf

lim 01/x-1=-1

+inf

lim e^x/x=+inf

+inf

par produit limg(x)=+inf

                   +inf

f'(x)=1+(1e^x-e^x*x)/e^2x

f'(x)=1+e^x(1-x)/e^2x

f'(x)=1+(1-x)/e^x

f'(x)=(e^x+1-x)/e^x

f'(x)=e^-x(e^x+1-x)

f'(x)=e^-x*g(x)

e^-x>0 donc f'(x) est du signe de g(x)

meme signe et meme variation min en 0 f(0)=1