Bonjour, j'ai des équation différentielle du 2ème ordre a faire mais je n'y arrive vraiment pas, si vous pouvez m'aider sa serais gentil :
Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y'' -2 y' +y = 0 avec f(0)=1 et f '(0)=1
b) y'' -4y'-5y=0 avec f(0)=0 et f '(0)=-6
c) y''-4y'=0 avec f(0)=2 et f '(0)=-2
Exercice 2 :
Soit l'équation différentielle (E) : 2 y'' + y' – y = -t+2
1) Résoudre l'équation homogène associée y'' + y' – y =0
2) Montrer qu'il existe une solution paritculière à (E) qui s'écrit sous la forme fp(t)=at+b avec a et b réels
3) Donner toutes les solutions de l'équation différentielle (E)
Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y'' -2 y' +y = 0 avec f(0)=1 et f '(0)=1
b) y'' -4y'-5y=0 avec f(0)=0 et f '(0)=-6
c) y''-4y'=0 avec f(0)=2 et f '(0)=-2
Exercice 2 :
Soit l'équation différentielle (E) : 2 y'' + y' – y = -t+2
1) Résoudre l'équation homogène associée y'' + y' – y =0
2) Montrer qu'il existe une solution paritculière à (E) qui s'écrit sous la forme fp(t)=at+b avec a et b réels
3) Donner toutes les solutions de l'équation différentielle (E)
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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
je vais répondre a l'exercice 2
poste une autre question pour l'exercice 1 stp
(E) 2y'' + y' - y = -t + 2
1)
Commençons par l'équation homogène
2y'' + y' - y = 0
son équation caractéristique est
discriminant = 1 - 4 * (-1*2) = 9
les solutions sont donc
t0 = (-1-3)/4 = -1
t1 = (-1+3)/4 = 1/2
les solutions y de l'équation homogène sont
pour a et b réels
y(t) = a exp(-t) + b exp(t/2)
2)
trouvons maintenant une solution particulière
prenons en une de la forme f(t)=at+b
f'(t) = a
f'' (t) = 0
2f''(t) + f'(t) - f(t) = a - at - b
et cela doit être égale à -t+2
du coup, nous avons les contraintes suivantes
-a = -1
a-b = 2
d'où a = 1 et b = 1-2 = -1
f est donc de la forme f(t) = t-1
3)
Maintenant nous pouvons conclure
les solutions de l'équation (E) sont les fonctions de la forme
y(t) = t - 1 + a exp(-t) + b exp(t/2)
avec a et b réels