Réponse :

Montrer:

∀n ∈ N  , ∀x ∈ R    

soit  x ∈ R

Pour tout entier naturel  n;  on note  P(n) : |sin (nx)| ≤ n|sin x|

1) Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

      pour n = 0     |sin(0 * x)| = 0  et  0 * |sin x| = 0   ⇒ 0 ≤ 0 donc P(0) est

vraie

2) Hérédité : soit un entier naturel n;  supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire il faut montrer que

|sin (n+ 1)x| ≤ (n+ 1)|sin x|

|sin (n+ 1)x| = |sin (n x + x)|

                  = |sin(nx)cosx + sinxcos(nx)|  

on a utilisé sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa

|sin (n+ 1)x| ≤ |sin(nx)cosx| + |sinxcos(nx)|    on a utilisé l'inégalité triangulaire |a+b| ≤ |a|+|b|

                    ≤  |sin(nx)| |cosx| + |sinx| |cos(nx)|     |ab| = |a| * |b|

sachant  que   - 1 ≤ cos (x) ≤ 1   et  |cos(x)| ≤ 1

                     ≤  |sin(nx)| + |sin (x)|    

                     ≤ n|sin x| + |sin x|      hypothèse de récurrence

                     ≤ (n + 1)|sinx|   donc  P(n+1) est vraie

3) conclusion

P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0, donc par récurrence pour tout entier naturel n, P(n) est vraie  

Explications étape par étape :

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Bonsoir,

On note la proposition Pₙ : |sin(nx)| ≤ n |sin(x)|

P(0) est vraie puisque | sin(0x) | = 0 * | sin(x) | = 0

Soit n un entier

On suppose que  Pₙ est vraie. On a donc:

| sin(nx) | ≤ n | sin(x) |

Or | sin((n+1) x) | = | sin(nx + x) | = | sin(nx) cos(x) + cos(nx) sin(x) |

⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx) cos(x) | + | cos(nx) sin(x) |

⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx)| . | cos(x) | + | cos(nx) | . | sin(x) |

⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx)|  +  | sin(x) | puisque | cos(kx) | ≤ 1 pour tout k dans IN.

⇒ | sin((n+1) x) | ≤ n | sin(x)|  +  | sin(x) | d'après l'hypothèse de récurrence.

⇒ | sin((n+1) x) | ≤ (n + 1) | sin(x) |

Pₙ₊₁ est donc vraie

Nous avons ainsi démontré par récurrence que Pₙ est vraie pour tout n dans IN