Réponse :

déterminer le sens de variation de chacune des fonctions suivantes définies et dérivables sur l'intervalle I

2) f(x) = 3/(x+1)   sur  I = ]- 1 ; + ∞[

la fonction dérivée f ' de f  est  f '(x) = - 3/(x + 1)²   or  (x + 1)² > 0 et - 3 < 0

donc  f '(x) < 0  par conséquent la fonction f est strictement décroissante sur I

3) k(x) = x/(x + 1) sur I = ]- 1 ; + ∞[

 la fonction dérivée  k '(x) = ((x + 1) - x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)²

or (x + 1)² > 0  et  1 > 0  donc k '(x) > 0  , donc la fonction k est croissante sur I = ]- 1 ; + ∞[

4) l(x) = (x + 3)√x  sur  I = ]0 ; + ∞[  

 la fonction dérivée l '(x) = (uv)' = u'v + v'u  

u = x + 3 ⇒ u ' = 1

v = √x  ⇒  v ' = 1/2√x

l '(x) = √x + (1/2√x)*(x + 3) = (2√x*√x + x +3)/2√x = (3 x + 3)/2√x

or √x  > 0  car x > 0  

x > 0  et  3 x > 0  donc  3 x + 3 > 0

donc l'(x) > 0  par conséquent  l (x) est strictement croissante sur I =]0;+∞[

Explications étape par étape