Réponse :

U0 = 6

Un+1 = -2Un + 3   pour tout n ∈N

1) calculer U1 , U2 et U3

U1 = - 2U0 + 3 = - 2*6 + 3 = - 9

U2 = - 2U1 + 3 = - 2*(-9) + 3 = 21

U3 = - 2U2 + 3 = - 2*21 + 3 = - 39

la suite (Un) est -elle arithmétique ? géométrique ?

U1 - U0 = - 9 + 6 = - 3

U2 - U1 = 21 - (-9) = 30

donc (Un) n'est pas arithmétique

U1/U0 = - 9/6 = - 3/2

U2/U1 = 21/-9  = - 7/3

la suite (Un) n'est pas géométrique

2) on pose pour tout entier naturel n, Vn = (Un) - 1

démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison - 2

Vn+1 = (Un+1) - 1

Vn+1/Vn = (Un+1) - 1)/(Un - 1) = (- 2Un + 3 - 1)/(Un - 1) = (- 2Un + 2)/(Un - 1)

= - 2(Un - 1)/(Un - 1) = - 2

donc  Vn+1/Vn = - 2  donc la suite (Vn) est géométrique de raison q = - 2

3) en déduire l'expression de (Vn) en fonction de n

       Vn = V0 x qⁿ     V0 = U0 - 1 = 6 - 1 = 5   et  q = - 2

   donc  Vn = 5 x (- 2)ⁿ

puis celle de Un en fonction de n

or  Vn = Un - 1  ⇔ Un = Vn  + 1  ⇔ Un = 5 x (- 2)ⁿ + 1

Explications étape par étape