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1) je calcule l'angle TPH

a) le triangle POR est équilatéral; l'angle POR mesure 60°, son complément POT mesure 30°

le triangle TOP est isocèle, les angles à la base ont la même mesure (180° - 30°) : 2 = 75°

TPO = 75°

b) OPR = 60°

c) dans le triangle PRH l'angle PRH = anglePRS + angle SRH

= 30° + 60° = 90°

ce triangle est rectangle en R, il est isocèle, les angles à la base sont égaux à 45°

RPH = 45°

conclusion :

angle TPH = angle TPO + angle OPR + angle RPH

                  = 75° + 60° + 45° = 180

l'angle TPH est un angle plat, les points sont alignés.

2) méthode analytique

je choisis comme repère orthonormé (O, vectOR, vectOT)

dans ce repère T a pour coordonnées (0;1)

P se projette sur l'axe des abscisses au milieu de [OR], il a pour abscisse 1/2 et sur l'axe des ordonnées au point d'ordonnée √3/2 (√3/2 hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1)

P a pour coordonnées (1/2; √3/2)

Le point H se projette sur OT au milieu de [OT], ordonnée 1/2

Il se projette sur l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 + √3/2  ( longueur OR plus longueur de la hauteur issue de H du triangle équilatéral SRH

H a pour coordonnées (1 + √3/2 ; 1/2)

Pour terminer on montre que les vecteurs TP et TH sont colinéaires.

coordonnées vecteur TP (1/2-0 ;(√3/2)-1) soit (1/2; ((√3/2)-1)

coordonnées vecteur TH (1+√3/2 ; 1/2-1) soit (1+√3/2 ; -1/2)

je calcule le produit uv'-u'v : (1/2)(-1/2) - (1+√3/2)((√3/2)-1) =

                                                 -1/4 - (3/4 -1) = -1/4 + 1/4 = 0

ce produit est nul, les vecteurs sont colinéaires, les droitesTP et TH sont parallèles, elles ont en commun le point T => elles sont confondues