Quand m tend vers 0, l'ordonnée de A tend vers 4 et l'abscisse de B tend vers l'infini. Inversement, quand m tend vers 2, l'ordonnée de A tend vers l'infini et l'abscisse de B tend vers 2.
On peut donc conjecturer que l'aire du triangle OAB est minimale quand M est au milieu de l'arc de parabole, soit quand m = 1.
2) f(x) = 4 - x²
f'(x) = -2x
M(m;4 - m²)
(AB) : y = f'(m)(x - m) + f(m)
⇒ y = -2m(x - m) + 4 - m²
⇔ y = -2mx + m² + 4
3) A(0;yA)
A ∈ (AB) ⇒ yA = m² + 4
⇒ A(0;m²+4)
B(xB;0)
B ∈ (AB) ⇒ 0 = -2mxB + m² + 4
⇒ xB = (m² + 4)/2m
⇒ B( (m² + 4)/2m ; 0)
4) Aire OAB = OA x OB/2
⇒ Am = (m² + 4)(m² + 4)/4m
⇔ Am = (m² + 4)²/4m
5) f(x) = (x² + 4)²/4x sur ]0;2]
f'(x) = [4x(x² + 4)4x - 4(x² + 4)²]/16x²
⇔ f'(x) = [x² +4][16x² - 4(x² + 4)]/16x²
⇔ f'(x) = [x² + 4][12x² - 16]/16x²
⇔ f'(x) = (x² + 4)(3x² - 4)/4x²
Signe de f'(x) = Signe de (3x² - 4) = Signe de (√3x - 2)(√3x + 2)
6) On en déduit que f(x) atteint son minimum pour x = 2/√3
différent de la conjecture
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scoladan
ah non, je l'avais même pas vu. Tu repostes, je ne peux pas éditer. Ou bien tu réfléchis...Equation de la tangente en A, puis coefficient directeur nul puisque tgte horizontale, etc...
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Bonjour,1) M ∈ (¨P) ⇒ M(m;4 - m²)
Quand m tend vers 0, l'ordonnée de A tend vers 4 et l'abscisse de B tend vers l'infini.
Inversement, quand m tend vers 2, l'ordonnée de A tend vers l'infini et l'abscisse de B tend vers 2.
On peut donc conjecturer que l'aire du triangle OAB est minimale quand M est au milieu de l'arc de parabole, soit quand m = 1.
2) f(x) = 4 - x²
f'(x) = -2x
M(m;4 - m²)
(AB) : y = f'(m)(x - m) + f(m)
⇒ y = -2m(x - m) + 4 - m²
⇔ y = -2mx + m² + 4
3) A(0;yA)
A ∈ (AB) ⇒ yA = m² + 4
⇒ A(0;m²+4)
B(xB;0)
B ∈ (AB) ⇒ 0 = -2mxB + m² + 4
⇒ xB = (m² + 4)/2m
⇒ B( (m² + 4)/2m ; 0)
4) Aire OAB = OA x OB/2
⇒ Am = (m² + 4)(m² + 4)/4m
⇔ Am = (m² + 4)²/4m
5) f(x) = (x² + 4)²/4x sur ]0;2]
f'(x) = [4x(x² + 4)4x - 4(x² + 4)²]/16x²
⇔ f'(x) = [x² +4][16x² - 4(x² + 4)]/16x²
⇔ f'(x) = [x² + 4][12x² - 16]/16x²
⇔ f'(x) = (x² + 4)(3x² - 4)/4x²
Signe de f'(x) = Signe de (3x² - 4) = Signe de (√3x - 2)(√3x + 2)
x 0 2/√3 2
f'(x) || - 0 +
f(x) || décrois. croissante
6) On en déduit que f(x) atteint son minimum pour x = 2/√3
différent de la conjecture