Réponse :

1) a) montrer que (PQ) // (BC)

            (PQ) ⊥ (AH)  (car APQ est isocèle aussi)

       et  (BC) ⊥ (AH)   donc   (PQ) // (BC)

   b) en déduire PQ en fonction de x

déterminons tout d'abord  BC

ABH triangle rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore on a;

AB² = BH²+ AH²  ⇔ BH² = AB² - AH² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36

d'où  BH = √36 = 6   donc  BC = 12  

     d'après le th.Thalès  on a; AP/AB = PQ/BC  ⇔ x/10 = PQ/12

⇔ PQ =  12/10) x   ⇔ PQ = 1.2 x

2) soit  I milieu de (PQ)

    a) montrer  que I ∈ (AH)

             (AI) est la médiatrice de (PQ)  car AP = AQ

donc (AI) ⊥ (PQ);  et les points A ; I et H sont alignés car  ^AIH = 90+ 90 = 180°  par conséquent  I ∈ (AH)

     b) calculer AI en fonction de x

         AP/AB = AI/AH  ⇔ x/10 = AI/8   ⇔ AI = 0.8 x

     c) en déduire IH

          IH = AH - AI = 8  - 0.8 x

3) résoudre le problème posé

     l'aire de ABC :   A = 1/2(8 * 12) = 48

     l'aire de PQH :   A' = 1/2)(1.2 x *(8 - 0.8 x) = 1/2(9.6 x - 0.96 x²)

 A = 8 * A'  ⇔ 48 = 4*(9.6 x - 0.96 x²)   ⇔ 48 = 38.4 x  - 3.96 x²

⇔ - 3.96 x² + 38.4 x - 48 = 0

Δ = 1474.56 - 760.32 = 714.24  ⇒ √Δ ≈26.7

  x1 = - 38.4 + 26.7)/- 7.92 ≈ 1.5

   x2 = - 38.4 - 26.7)/- 7.92 ≈ 8.2

la position du point P et Q est de 1.5 ou 8.2 par rapport au point A

Explications étape par étape