Réponse :

4) généraliser la méthode utilisée à la question précédente pour exprimer plus simplement Sn

soit (Sn) la suite définie pour tout n ≥ 1 par Sn = 1 + 2 + ..... + n

     Sn = 1  +    2    +    3     + ....... +  (n - 1)  + n

     Sn = n  + (n -1) + (n - 2) + ......  +     2      + 1

................................................................................................

    2Sn = (n + 1) + (n + 1)  + (n + 1) + ....... + (n + 1)  + (n + 1)

    2Sn =  n x (n + 1)

d'où   Sn = n x (n + 1)/2

5) montrer que Tn+1 - Tn = (n + 3)³

Tn = 1³ + 2³  + ....... + n³

Tn+1 = 1³ + 2³  + ....... + n³ + (n + 1)³

donc   Tn+1 = Tn + (n + 1)³   ⇔  Tn+1 - Tn = (n + 1)³

6) montrer que (n + 1)³ = n³ + 3 n² + 3 n + 1

on notera cette égalité  En

(n + 1)³ = (n + 1)(n + 1)²

           = (n + 1)(n² + 2 n + 1)

           = n³ + 2 n² + n + n² + 2 n + 1

           = n³ + 3 n² + 3 n + 1

Explications étape par étape :