Bonjour, j'ai un DM de math.
Un designer doit réaliser un logo pour une entreprise. Il veut créer la partie blanche de la figure ci-dessous, située à l'intérieur des demi-disque de diamètre [BC] et à l'extérieur des demi-disques de diamètre [CM] et [MB] où M est un point quelconque du segment [BC].
On a BC= 10cm et on pose x= CM.
Le designer doit faire en sorte que l'aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l'aire du demi-disque de diamètre [BC].
Comment doit-il positionner le point M ?
S'il vous plaît faite bien tout étape par étape pour que je comprenne ^^ merci d'avance pour vos réponses.
Un designer doit réaliser un logo pour une entreprise. Il veut créer la partie blanche de la figure ci-dessous, située à l'intérieur des demi-disque de diamètre [BC] et à l'extérieur des demi-disques de diamètre [CM] et [MB] où M est un point quelconque du segment [BC].
On a BC= 10cm et on pose x= CM.
Le designer doit faire en sorte que l'aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l'aire du demi-disque de diamètre [BC].
Comment doit-il positionner le point M ?
S'il vous plaît faite bien tout étape par étape pour que je comprenne ^^ merci d'avance pour vos réponses.
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On commence d'abord par l'aire du demi-disque de diamètre CMCM = x donc rayon = x/2
A(demi disque CM) = (π × rayon²) / 2
= (π × (x/2)²) / 2
= (π × x²/4) / 2
= (π × x²) / 8
On continue avec l'aire du demi-disque de diamètre MB
MB = 10 - x donc rayon = (10 - x)/2
A(demi disque MB) = (π × rayon²) / 2
= (π × ((10 - x)/2)² ) /2
= (π × (10 - x)² / 4 ) /2
= (π × (10 - x)²) / 8
On calcule maintenant l'aire du demi-disque de diamètre CB
CB = 10 donc rayon = 5
A(demi disque CB) = (π × rayon²) / 2
= (π × 5²) / 2
= 25π / 2
On veut que le motif occupe la moitié de l'aire du demi disque de diamètre CB, donc (25π/2) / 2 soit 12.5π
Aire motif = (π × x²) / 8 + (π × (10 - x)²) / 8 = 12.5π
(π × x²) + (π × (10 - x)²) = 12.5π × 8 (on multiplie par 8 des 2 côtés)
π (x² + (10 - x)² ) = 50π (on factorise par π)
x² + (10 - x)² = 50 (on simplifie par π)
x² + (10 - x)² - 50 = 0 (on regroupe tout à gauche)
x² + 100 - 20x + x² - 50 = 0 (on développe l'identité remarquable)
2x² - 20x + 50 = 0 (on ordonne)
Tu calcules Δ (on trouve 0)
On calcule alors x0 (on trouve 5)
Il faut donc placer M à 5 cm de C, soit au milieu de CB
Voilà ! :)