Réponse :

ex1

f(x)=-x²-4x+15+6lnx

f'(x)=-2x-4+6/x on met au même dénominateur

f'(x)=(-2x²-4x+6)/x  le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -2x²-4x+6 soit de -x²-2x+3

f'(x)= 0 si x=-3 ou x=+1  (via delta)

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    0,5                               +1                               10

f'(x)..................+........................0.............-......................

f(x) f(0,5)......croi...................f(1)...........décroi.............f(10)

calcule f(0,5), f(1) et f(10) et tu constateras en utilisant le TVI que f(x)=0 admet une et seule solution "alpha" avec 1>alpha>10

calcule la valeur de alpha par encadrement.

4) On te donne une fonction F(x) et on te demande de vérifier que F(x) est une primitive de f(x) .La solution de facilité comme tu as la réponse dans la question il suffit de dériver F(x) pour retrouver f(x)

Mais il y a mieux f(x) est une fonction somme donc F(x) est la somme des primitives il suffit de savoir que la primitive de lnx est xlnx -x soit x(lnx-1)

ce qui donne F(x)=-(1/3)x³-2x²+15x +6x(lnx -1)

F(x)=(-1/3)x³-2x²+9x+6xlnx+Cste

L'intégrale de 1à 3 de f(x)dx =F(3)-F(1)=.........

La valeur moyenne de f(x) sur [1; 3] =[F(3)-F(1)]/(3-1)=.....

ex2)

g(x)=(2lnx +1)/x  sur [0,5:5]

dérivée G(x) est de la forme u/v donc sa dérivée est (u'v-v'u)/v²

ce qui donne u=2lnx+1   u'=2/x et v=x   v'=1

g'(x)=[(2/x)*x-1(2lnx+1)]/x²= [1 -2lnx]/x²

le signe de g'(x) dépend du signe de 1-2lnx

1-2lnx=0  si lnx=1/2   soit x=e^(1/2)=rac e

tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x    0,5                            Ve                            5

g'(x)................+.....................0.................-..............

g(x)g(0,5)......croi.............g(Ve).....décroi...............g(5)

Calcule g(0,5), g(Ve)     et g(5).

3)équation de la tangente on applique la formule

y=g'(1)(x-1)+g(1) il suffit de remplacer

4) aire hachurée il y a plus de 2 carreaux mais moins de 3 donc

2u.a.<Aire<3 u.a.   (u.a.=unité d'aire)

4b) même remarque que pour l'exercice précédent soit tu dérives G(x) donnée dans la question soit tu recherches G(x) à partir de g(x)

g(x)=(2lnx)/x+1/x mais (2lnx)/x=2(1/x)lnx je reconnais  2u'*u qui est la dérivée de u²

G(x)=(lnx)²+lnx+Cste  G(x)=(lnx)*(1+lnx)+Cste

Calcul de l'aire il suffit de remplacer et d'effectuer les calculs

Aire=G(3)-G(1)= (ln3)*(1+ln3)-ln1(1+ln1)  or ln1=0

aire =ln3(1+ln3)=2,3 u.a. (environ)..........

Explications étape par étape