Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

exo 1 :

2) Sur [0.5;10] , le déno est > 0 donc f '(x) est du signe de :

-2x²-4x+6 qui est > 0 entre ses racines.

delta=(-4)²-4(-2)(6)=64

x1=(4-8)/-4=1

x2=(4+8)/-4=-3

x------------>0.5........................1.........................+inf

f '(x)------->...................+............0..........-............

f(x)-------->≈8.6...........C..........10............D.........

C=flèche qui monte.

D=flèche qui descend.

f(1)=-1-4+15+6*0=10 : OK ?

f(10) ≈ -111.20

Sur [0.5;1] , f(x) est continue , strictement croissante et tjts > 0. Donc il n'existe pas de réel ∝ tel que f(∝)=0.

Sur [1;10] , f(x) est continue , strictement décroissante , passant de valeurs > 0 à valeurs < 0. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel ∝ tel que f(∝)=0.

Avec la calculatrice :

∝ ≈ 3.07

car :

f(3.07)≈ 0.02517 et f(3.08)≈-0.0568

4)

6x*lnx est de la forme : u*v

u=6x donc u'=6

v=lnx donc v'=1/x

u'v+uv'=6lnx+6

Donc :

F '(x)=-x²-4x+9+6+6lnx

F '(x)=-x²-4x+15+6lnx=f(x)

5)

On calcule F(3)-F(1) :

F(3)=-1/3*3³+2*3²+9*3+6*3*ln3=18ln3

F(1)=-1/3* 1³ +2*1²+9*1=-1/3 + 11=20/3

I=18ln3-20/3

I≈13.108

6)

Valeur moyenne =(18ln3-20/3)/(3-1)=(18ln3-20/3)/2=9ln3-10/3

Je n'ai pas le temps de faire le 2. Remets dans un nouveau post. Je regarderai lundi si personne ne te l'a fait.