Bonjour, j'ai un dm de maths a rendre sur les suites et ne comprend rien a cet exercice, quelqu'un peut m'aider stp?
La pyrale est une redoutable chenille inva-sive qui s’attaque aux buis (petits arbres à feuilles pérennes, communs sur le territoire français).Un massif forestier des Pyrénées en est victime depuis quelque temps. Les agents de l’ONF (Office national des Forêts) ont procédé à des relevés statistiques : chaque année, le nuisible fait disparaître 15 % des buis de ce massif.Alors que l’on compte 75 000 pieds de buis, l’ONF préconise de replanter 3 000 plants chaque année pour compenser les dégâts de la pyrale en attendant un éventuel traite-ment contre cette chenille.
Si la préconisation de l’ONF n’est pas suivie, quelle conjecture peut-on émettre quant au nombre de buis dans ce massif à long terme ?On considère désormais que la préconisation de l’ONF est suivie.a. Calculer le nombre de buis dans ce massif un an après cette préconisation, puis deux ans après.b. Si on note un le nombre de buis dans ce massif n années après cette préconisation, expliquer la formule de récurrence un + 1 = 0,85 un + 3 000 pour tout entier naturel n.c. À l’aide de la calculatrice, quelle conjecture peut-on émettre quant au nombre de buis dans ce massif à long terme ?1
La pyrale est une redoutable chenille inva-sive qui s’attaque aux buis (petits arbres à feuilles pérennes, communs sur le territoire français).Un massif forestier des Pyrénées en est victime depuis quelque temps. Les agents de l’ONF (Office national des Forêts) ont procédé à des relevés statistiques : chaque année, le nuisible fait disparaître 15 % des buis de ce massif.Alors que l’on compte 75 000 pieds de buis, l’ONF préconise de replanter 3 000 plants chaque année pour compenser les dégâts de la pyrale en attendant un éventuel traite-ment contre cette chenille.
Si la préconisation de l’ONF n’est pas suivie, quelle conjecture peut-on émettre quant au nombre de buis dans ce massif à long terme ?On considère désormais que la préconisation de l’ONF est suivie.a. Calculer le nombre de buis dans ce massif un an après cette préconisation, puis deux ans après.b. Si on note un le nombre de buis dans ce massif n années après cette préconisation, expliquer la formule de récurrence un + 1 = 0,85 un + 3 000 pour tout entier naturel n.c. À l’aide de la calculatrice, quelle conjecture peut-on émettre quant au nombre de buis dans ce massif à long terme ?1
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Réponse :
Explications étape par étape :
1) Si la préconisaton de l'ONF n'est pas suivie, comme la population de buis diminue de 15% chaque année,
à long terme le massif de buis aura disparu.
2) Si la préconisation de l'ONF est suivie :
Nombre de buis 1 an après : 75000 - 75000 x 15/100 + 3000 = 66750
Nombre de buis 2 ans après : 66750 - 66750 x 15/100 + 3000 ≈ 59738
3)
Nombre de buis n années après cette préconisation : uₙ
Disparition de 15% du massif -0,15 uₙ
Replantation de 3000 buis + 3000
Nombre de buis n + 1 années après la préconisation de l'ONF :
uₙ₊₁ = uₙ - 0,15uₙ + 3000 = uₙ(1 - 0,15) + 3000
⇒ uₙ₊₁ = 0,85uₙ + 3000
4) Avec l menu Récurrence de la calcutrice :
A long terme, le nombre de buis dans la plantation tendra vers 20000 (on atteint ce nombre qui ne bouge plus pour n=68 c'est à dire 68 ans après le constat initial).