Réponse :

1) déterminer la nature du triangle ABC

AB² = (- 2 - 1)²+(0 + 1)² = 9 + 1 = 10 ⇒ AB = √10

BC² = (- 3 +2)²+(3 -0)² = 1 + 9 = 10 ⇒ BC = √10

AC² = (- 3 - 1)² + (3+1)² = 16 + 16 = 32 ⇒ AC = √32 = 4√2

on a ; AB = BC = √10 donc le triangle ABC est isocèle en B

2) on écrit vec(BD) = 2vec(BA)

soit  D(x ; y)  donc  vec(BD) = (x + 2 ; y) = 2vec(BA) = 2(3 ; - 1) = (6 ; - 2)

⇔ x + 2 = 6 ⇔ x = 4  et y = - 2

les coordonnées de D sont:  D(4 ; - 2)

3) montrer que les points B , C et  E sont alignés

vec(BC) et vec(CE) sont colinéaires  ssi   x'y - y'x = 0

vec(BC) = (- 1 ; 3)

vec(CE) = (- 4 + 3 ; 6- 3) = (- 1 ; 3)

- 1 x (3) - (3) x (- 1) = 0  donc les vecteurs BC et CE sont colinéaires donc les points B , C et E sont alignés

4) démontrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles

vec(AC) = (- 3 - 1 ; 3 + 1) = (- 4 ; 4)

vec(ED) = (4 + 4 ; - 2 - 6) = (8 ; - 8)

les vecteurs AC et ED sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0

8 x (4) - (- 8) x (- 4) = 32 - 32 = 0 donc les vecteurs AC et ED sont colinéaires  donc les droites (AC) et (ED) sont parallèles

5) K est le milieu du segment (ED)

montrer que ACEK est un parallélogramme

K milieu de (ED) ⇒ K((4-4)/2 ; (- 2 + 6)/2) = (0 ; 2)

vec(AC) = (- 4 ; 4)

vec(KE) = (- 4 - 0 ; 6 - 2) =  (- 4 ;  4)

donc  vec(AC) = vec(KE)   ⇒ ACEK est un parallélogramme

Explications étape par étape