Réponse :

1) l'entreprise A

a) la production en 2006 est de : 11 000 + 11 000 x 0.3 = 11 000 x (1+0.03)

    = 11 000 x 1.03 = 11330 pièces

   la production en 2007 est de : 11330 x 1.03 = 11669.9 ≈ 11670 pièces

b) exprimer en fonction de n, la production Pn

             Pn = 11 000 x (1.03)ⁿ     ( 0 ≤ n ≤ 15)

   quelle sera la production en 2020

               P₁₅ = 11 000 x (1.03)¹⁵ ≈ 17137.64 pièces ≈ 17138 pièces l'arrondi à l'unité

c) quel est le pourcentage d'augmentation de la production de 2005 à 2020 (résultat arrondi à 0.1 près)

         [(17137.64 - 11 000)/11000] x 100 ≈ 55.8 %  l'arrondi à 0.1 près

2) l'entreprise B

a) exprimer en fonction de n, la production P'n

             P'n = 9000 x (1.05)ⁿ

 b) quelle sera la production en 2020 ?

           P'₁₅ = 9000 x (1.05)¹⁵ ≈ 18710  arrondi à l'unité

  c) déterminer l'entier n, tel que l'année 2005 + n la production de l'entreprise B  dépasse pour la première fois la production de l'entreprise A

   on écrit   P'n  > Pn   ⇔ 9000 x (1.05)ⁿ > 11 000 x (1.03)ⁿ

      ⇔  (1.05)ⁿ/(1.03)ⁿ > 11 000/9000  ⇔ (1.05/1.03)ⁿ > 11/9

     ⇔ ln (1.05/1.03)ⁿ > ln (11/9)   ⇔ nln (1.05/1.03) > ln(11/9)

      ⇔ n > ln(11/9)/ln(1.05/1.03)  ⇔ n > 0.20067/0.01923  ⇔ n > 10.435

   soit  pour  n = 11 ; la production de l'entreprise B dépasse pour la première fois la production de l'entreprise A        

Explications étape par étape