Soit à démontrer la propriété P(n) telle que pour tout entier naturel n :
n ≤ uₙ ≤ n+1
Initialisation : u₀ = 1 et 0 ≤ 1 ≤ 0+1: P est initialisée
Hérédité : on suppose qu'il existe un rang n quelconque fixé tel que P(n) soit vraie : n ≤ uₙ ≤ n+1 et on démontre qu'elle est vérifiée au rang suivant : n+1 ≤ uₙ₊₁ ≤ n+2.
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Réponse :
Explications étape par étape :
1)
[tex]u_1=\frac{3}{4}u_0+\frac{1}{4}*0+1=\frac{3}{4}+1=1,75 \\\\ u_2=\frac{3}{4}u_1+\frac{1}{4}*1+1=\frac{3}{4}*1,75+\frac{1}{4}+1=1,3125+0,25+1=2,5625 \\[/tex]
2a)
Cellule B3 : =(3/4)*B2+(1/4)*A2+1
2b)
La suite (uₙ) semble croissante
3a)
Soit à démontrer la propriété P(n) telle que pour tout entier naturel n :
n ≤ uₙ ≤ n+1 ⇒ (3/4)n ≤ (3/4)uₙ ≤ (3/4)(n+1)
⇒ (3/4)n+(1/4)n ≤ (3/4)uₙ+(1/4)n ≤ (3/4)(n+1)+(1/4)n
⇒(3/4)n+(1/4)n+1 ≤ (3/4)uₙ+(1/4)n+1 ≤ (3/4)(n+1)+(1/4)n+1
⇒ n + 1 ≤ uₙ₊₁ ≤ n + 3/4 + 1 ≤ n + 2
⇒ n+1 ≤ uₙ₊₁ ≤ n+2
La propriété P(n) est héréditaire.
n ≤ uₙ ≤ n+1
3b) n ≤ uₙ ≤ n+1 ⇒ -n-1≤ -uₙ ≤ -n et n+1 ≤ uₙ₊₁ ≤ n+2
-n-1+n+1 ≤ uₙ₊₁ - uₙ ≤ n+2-n ⇒ 0 ≤ uₙ₊₁ - uₙ ≤ 2
La suite (uₙ) est croissante
n ≤ uₙ ≤ n+1
La limite de n quand n tend vers +∞ est +∞
La limite de n+1 quand n tend vers +∞ est +∞
D'après le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), la limite de la suite (uₙ) est +∞
La suite (uₙ) est divergente.
3c)
n > 0 ⇒ n/n < uₙ/n ≤ (n+1)/n ⇒ 1 ≤ uₙ/n ≤ 1 +1/n
la limite de 1/n est égal à 0 quand n tend vers +∞ donc la limite quand n tend vers +∞ de 1 + 1/n est égale à 1.
D'après le théorème d'encadrement, la limite quand n tend vers +∞ de uₙ/n est égal à 1.
4a) vₙ = uₙ - n
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ - (n + 1) = (3/4)uₙ + (1/4)n + 1 - n - 1
or uₙ = vₙ + n
donc vₙ₊₁ = (3/4)vₙ + (3/4)n + (1/4)n -n = (3/4)vₙ
la suite (vₙ) est géométrique de premier terme v₀ = u₀ - 0 = 1 et de raison q = 3/4.
b) vₙ = v₀ x (3/4)ⁿ = (3/4)ⁿ
uₙ = vₙ + n
uₙ = (3/4)ⁿ + n