bonjour

    on doit donner une réponse de la forme z = a + ib   (a et b réels)

a)   3 + iz + 2i = z

           on résout cette équation comme une équation du 1er degré en

              isolant z

    3 + 2i = z - iz

    3 + 2i = z(1 - i)

    z = (3 + 2i) / (1 - i)

pour obtenir la forme algébrique de z on multiplie les deux termes du

quotient par (1 + i), conjugué du dénominateur (1 - i)

  z = (3 + 2i)(1 + i) / (1 - i)(1 + i)

  z = (3 + 3i + 2i + 2i²) / (1 - i²)                       i² = -1

  z = (3 + 5i - 2) /2

  z = (1 +5i) /2

  z = 1/2 + (5/2)i

réponse :

                           1/2 + (5/2)i

b) (1 + 3i)z - (i - 1) = iz - 3    (j'ai mis la barre en dessous de z)

dans cet exercice il y a z et z        

méthode :

on pose z = x + iy     avec x et y réels    ;    z = x - iy

x et y deviennent les inconnues

  (1 + 3i)(x + iy) - i + 1 = i(x - iy) - 3

   x + iy + 3ix + 3i²y - i + 1 = ix - i²y -3

   x + iy + 3ix - 3y - i + 1 = ix + y - 3

on met tous les termes dans le 1er membre

  x + iy + 3ix - 3y - i + 1 -ix - y - 3 = 0

on réduit

x + iy +3ix - ix - 3y - y - i + 4 = 0

x + iy + 2ix - 4y - i + 4 = 0

on regroupe la partie réelle et la partie imaginaire

x - 4y + 4 + i(y + 2x - 1) = 0

un nombre complexe est nul si et seulement si la partie réelle et la

partie imaginaire sont nulles

x et y sont donc solution du système

x - 4y + 4 = 0  (1)   et    y + 2x - 1 = 0  (2)

que l'on résout par substitution

(2) y = -2x + 1

on remplace y par -2x + 1 dans (1)

  x - 4(-2x + 1) + 4 = 0

  x + 8x - 4 + 4 = 0

    9x = 0

    x = 0

et y = 1

                          z = 0 + 1i

                         z = i

réponse : i