Bonjour, j'aimerais savoir comment réaliser la division euclidienne de 2^2012 par 5. J'avoue être un.... Pergunta de ideia deAnabelle13

May 2019 1 73 Report

Bonjour, j'aimerais savoir comment réaliser la division euclidienne de 2^2012 par 5. J'avoue être un peu perdue...

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Commentaires (10) Bonjour Anabelle13

Nous savons que
$2^1\equiv2[5]\\\\2^2\equiv4[5]\equiv -1[ 5]$

Donc

$2^{2012}=(2^2)^{1006}\equiv(-1)^{1006}[5]\equiv1[5]$

Par conséquent, le reste de la division euclidienne de 2^2012 par 5 est égal à 1

A titre indicatif, voici le résultat de la division :

2^2012/5 =
470274332784334653125768479202378540655541330775529554115642465003833860666314880555687725595240968158595467116129264752003939926369507463752061483485861144736276435539199098882821239391191223793372884951300039658625496939095606738728210538661750185864826865902233185521437202864633084516500128653190482662785715851200342038947346369773215985258228844545757195127630339401818145309639808171054153250067278229485143728648281210300022956686758638598311483121262968506593107081583296672399695696759318866966038223190941759604116629173993695268516969610783232718583925968170363989270386498609909150306424324096/5

=

94054866556866930625153695840475708131108266155105910823128493000766772133262976111137545119048193631719093423225852950400787985273901492750412296697172228947255287107839819776564247878238244758674576990260007931725099387819121347745642107732350037172965373180446637104287440572926616903300025730638096532557143170240068407789469273954643197051645768909151439025526067880363629061927961634210830650013455645897028745729656242060004591337351727719662296624252593701318621416316659334479939139351863773393207644638188351920823325834798739053703393922156646543716785193634072797854077299721981830061284864819 + 1/5

Cela confirme que le reste de la division est bien égal à 1

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Anabelle13 Et du coup, si tu avais 2^2012 + 3^2012 et que tu devais déterminer le chiffre des unités de ce résultat, tu ferais comment ?

Anabelle13 Je sais que le chiffre des unités de 3^2012 peut être 3,9, 7, et 1.

Anabelle13 Mais du coup le chiffre des unités de 2^2012+3^2012 est 7 ?

Anabelle13 Pardon de poser des questions idiotes... Je veux être sûre de comprendre... J'ai encore une question... Comment conjecturerais-tu les restes de 2^n+3^n dans la congruence modulo 5 en fonction de n ?

Anabelle13 Si j'ai bien fait les choses, je dirai que c'est un cycle et que les restes possibles sont 2,0,3.

Anabelle13 Excuse moi maks je vais surement abuser de ta gentillesse mais si tu avais à prouver que 2^n + 3^n et que 2^n+4k + 3^n+4k ont le même reste dans la division euclidienne par 5 ?

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