Bonjour j'aimerais simplement avoir votre avis sur ce que j'ai fais pour cet exercice:
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(x-1)(x-1)
Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-infinie; 1] et croissante sur l'intervalle [1;+infinie[
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=(x-1)(x-1)
Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-infinie; 1] et croissante sur l'intervalle [1;+infinie[
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Ce n'est pas exactement ça.
Soit l'intervalle [1;+∞[
On a f(x) = (x-1)(x-1) = x² - 2x + 1
On a donc f(b) - f(a)
f(b)-f(a) = (b² - 2b + 1) - (a² - 2a + 1)
= b² - 2b + 1 - a² + 2a - 1
= b² - 2b - a² + 2a
= (b-a)(b+a) - 2(b-a)
= (b-a) [(b+a) - 2]
= (b-a)(b+a-2)
On a donc b-a avec 1≤a pluspetitque b
b est donc plus grand que a
alors (b-a) est de signe +
(b+a-2) avec b et a supérieur à 1 est forcément supérieur à 2, donc +
La fonction est donc croissante, car les signes + et + donnent + avec la règle des signes.
Si on reprend cette question sur l'intervalle ]-∞;1]
Avec b plus petit que a ≤ 1
(b-a) est donc de signe -, car b est plus petit et a plus grand, hors b - |a| est inférieur à 1
pour a + b - 2, le signe est forcément -
On a donc les signes -, la fonction est donc décroissante sur cet intervalle.