Réponse :

Le 3 exercices sont intéressant mais je choisis le n°3

Explications étape par étape

1) c'est évident car AB+AC ne peut pas être <BC (Condition nécessaire pour qu'un triangle soit constructible)donc BC ne peut pas être >12/2 soit 6

2) On détermine A(x) en utilisant la formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle

si p=périmètre /2  on A=V[p(p-AB)(p-AC)(p-BC)]

avec p=6; BC=x; AB=AC=(12-x)/2=6-x/2

A(x)=V[(6)(x/2)(x/2)(6-x)]=V[(6x²/4)(x-6)]=(x/2)*V(36-6x)

3) Pour moi la fonction f(x) n'est pas nécessaire pour continuer

Calculons la dérivée. Pour faciliter l'écriture sur ordinateur je remplace V(36-6x) par Y

A'(x)=(1/2)(Y)-(6/2Y)*x/2 j'ai utilisé la formule donnant la dérivée d'un produit et celle donnant la dérivée de V(u)

A'(x)=Y/2-3x/2Y=(Y²-3x)/2Y ceci après mise au même dénominateur.

A'(x)=(36-9x)/2V(36-6x)

Le signe de A'(x) dépend uniquement du signe de 36-9x car le dénominateur ne peut pas être <0

A'(x)=0 si x=4

Tableau de signes de A'(x) et de variation de A(x)

x        0                      4                                  6

A'(x).............+.............0............-.......................

A(x)  0.....crois..........A(4)........décrois..........0  

L'aire est donc maximale pour x=4 donc quand le triangle est équilatéral.