Explications étape par étape:

1. Pour déterminer l'expression de la dérivée f'(x) de la fonction f(x), nous dérivons chaque terme de f(x) séparément :

f(x) = x - 1 - e^x

La dérivée de x par rapport à x est 1, et la dérivée de -1 est 0. Pour dériver le terme e^x, nous utilisons la règle de dérivation des fonctions exponentielles :

f'(x) = 1 - 0 - e^x = 1 - e^x

Donc, l'expression de la dérivée f'(x) de f(x) est f'(x) = 1 - e^x.

2. Pour montrer que f admet un maximum, nous devons trouver les points critiques de f(x) en résolvant l'équation f'(x) = 0 :

1 - e^x = 0

En ajoutant e^x des deux côtés et en simplifiant, nous obtenons :

e^x = 1

Puisque e^x est toujours positif pour tous les x réels, la seule solution est x = 0.

Maintenant, nous devons déterminer si ce point est un maximum ou un minimum. Pour cela, nous examinons la dérivée seconde f''(x) :

f''(x) = -e^x

En évaluant f''(0), nous avons f''(0) = -e^0 = -1.

Puisque f''(0) est négatif, cela signifie que le point x = 0 est un maximum pour la fonction f(x).

La valeur maximale de f(x) est donc f(0) = 0 - 1 - e^0 = -2.

Donc, la fonction f admet un maximum de -2 en x = 0.

3. En conjecturant la position relative des courbes représentant les fonctions g et h, nous pouvons observer que :

- La fonction g(x) = e^x est une fonction exponentielle croissante pour tous les x réels.

- La fonction h(x) = x - 1 est une fonction linéaire qui a une pente de 1.

Puisque la fonction f(x) = x - 1 - e^x est la différence entre les fonctions g(x) et h(x), et que g(x) est croissante tandis que h(x) a une pente constante de 1, nous pouvons conjecturer que la courbe représentant f(x) se situe en dessous de la courbe représentant h(x) pour x négatif et au-dessus de la courbe représentant g(x) pour x positif.

Nous pouvons justifier cette conjecture en utilisant le résultat obtenu à la question 2, où nous avons montré que la fonction f(x) admet un maximum en x = 0. Puisque f(x) atteint son maximum en x = 0 et que g(x) est croissante, cela confirme que la courbe représentant f(x) est en dessous de la courbe représentant g(x) pour x négatif. De même, puisque h(x) est une fonction linéaire avec une pente constante, la courbe représentant f(x) est au-dessus de la courbe représentant h(x) pour x positif.