Explications étape par étape:

Bonsoir, le plus difficile ici, tu l'as probablement constaté, un énoncé fastidieux, dont il faut trier et traduire, de façon à ce qu'il soit exploitable.

De ce fait, méthodiquement :

1re info : Mn, point d'abscisse n >= 3.

2e info : Tangente à C en Mn.

3e info : Intersection tangente avec axe des abscisses xn.

On raisonne ensuite par info :

2- Idéalement, en parlant de tangente, il serait lucide de déterminer les équations de tangentes concernées.

Pour cela, on sait qu'une équation de tangente s'écrit :

y = f'(a)(x-a) + f(a), avec a, abscisse du point concerné.

Ici, on travaille sur Mn, donc sur l'ensemble des entiers naturels N. Il est donc raisonnable d'écrire :

Yn = f'(n)(x-n) + f(n).

Par ailleurs, f'(x) = x-2, d'où f'(n) = n-2. En outre, f(n) = (1/2)n² - 2n + 2. Ainsi, les équations de tangentes peuvent s'écrire ici :

Yn = (n-2)(x-n) + (1/2)n² - 2n + 2

= (n-2)x - n(n-2) + (1/2)n² - 2n + 2

= (n-2)x - n² + 2n + (1/2)n² - 2n + 2

= (n-2)x - (1/2)n² + 2.

3 : On cherche l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses, aisé, on résout Yn = 0, les solutions seront les valeurs xn par définition.

(n-2)x - (1/2)n² + 2 = 0 équivaut à (n-2)x = (1/2)n² - 2.

Factorisons par 1/2 à droite :

(n-2)x = (1/2)*[n² - 4] = (1/2)*(n-2)(n+2) via l'identité remarquable.

Au final : x = (n+2) / 2 en divisant par n-2.

On conclut que les valeurs xn, s'écrivent :

xn = 1 + n/2.

Suite strictement croissante, et affine, qui diverge vers + infini.