Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour deux exercices de maths niveaux première S. J'ai mis en pièce jo.... Pergunta de ideia dekylehcc

December 2020 1 120 Report

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour deux exercices de maths niveaux première S.
J'ai mis en pièce jointe les deux exercices et mon avancement.
Merci.

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Exercice 1

1) Soient $u,v$ deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle $I$ , alors pour tous $a,b$ $\in I$ , tels que $a < b$ , alors:

$u(a) > u(b)\\v(a) > v(b)\\donc \quad u(a)+v(a) > u(b)+v(b)$ , donc la fonction $u+v$ est strictement décroissante sur $I$ .

2)a) Soient $a,b \in ]4;+\infty[$ , tels que $a < b$ .

Alors:

$4 \frac{5}{b-4} \\ f(a) > f(b)$

Donc $f$ est décroissante sur $]4;+\infty[$ .

b) Pour tout $x>4$ :

$-3x+1+\frac{5}{x-4}=\frac{(-3x+1)(x-4)+5}{x-4}=\frac{-3x^{2}+12x+x-4+5}{x-4}=\frac{-3x^{2}+13x+1}{x-4}=g(x)$ .

c) Soient $a,b \in ]4;+\infty[$ , tels que $a < b$ , alors:

$4 -3b+1 \quad car \: -3x+1 \: est \: decroissante \: sur \: ]4;+\infty[\\ \frac{5}{a-4} > \frac{5}{b-4} \quad car \: f \: est \: decroissante \: sur \: ]4;+\infty[\\ -3a+1+\frac{5}{a-4} > -3b+1+\frac{5}{b-4} \quad \: car \: la \: somme \: de \: deux \: fonctions \\ decroissantes \: est \: decroissante\\g(a) > g(b)$ .

Donc $g$ est décroissante sur $]4;+\infty[$ .

Exercice 2

1) L'ensemble $\xi$ sur lequel $f$ est définie est si le dénominateur ne s'annule pas, donc $]-\infty;5[\cup ]5;+\infty[$ et si $\sqrt{x-4}$ est définie, donc si $x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$ , donc $\xi=(]-\infty;5[\cup ]5;+\infty[)\cap [4;+\infty[=[4;5[ \cup ]5;+\infty[$ .

2) Pour tout $x \in \xi$ :

$f(x)=\frac{\sqrt{x-4}-1}{x-5}=\frac{(\sqrt{x-4}-1)(\sqrt{x-4}+1)}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-4-1}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-4}+1)}=\frac{x-5}{x-5} \frac{1}{\sqrt{x-4}+1}=\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}$ .

3) Soient $a,b \in [4;5[$ , tels que $a$ , alors:

$4\leq a < b < 5\\ 4-4 \leq a-4 < b-4 < 5-4 \quad \: car \: x-4 \: est \: croissante\\0 \leq a-4 < b-4 < 1\\\sqrt{0} \leq \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} < \sqrt{1} \quad car \: \sqrt{x} \: est \: croissante \sur \: [0;+\infty[\\0 \leq \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} < 1\\1 \leq \sqrt{a-4}+1 < \sqrt{b-4}+1 < 2\\\frac{1}{1} \geq \frac{1}{\sqrt{a-4}+1} > \frac{1}{\sqrt{b-4}+1} > \frac{1}{2} \quad car \: \frac{1}{x} \: est \: decroissante \: sur [1;2[\\1 \geq f(a) > f(b) > \frac{1}{2}$

Donc $f$ est décroissante sur $[4;5[$ .

Soient $a,b \in ]5;+\infty[$ , tels que $a$ , alors:

$5 < a < b\\5-4 < a-4 < b-4 \quad car \: x-4 \: est \: croissante \: sur \: ]5;+\infty[\\1 < a-4 < b-4\\\sqrt{1} < \sqrt{a-4} < \sqrt{b-4} \quad car \: \sqrt{x} \: est \: croissante \: sur ]1;+\infty[\\1+1 < \sqrt{a-4}+1 < \sqrt{b-4}+1\\\frac{1}{2} > \frac{1}{\sqrt{a-4}+1} > \frac{1}{\sqrt{b-4}+1} \quad car \: \frac{1}{x} \: est \: decroissante \: sur \: ]2;+\infty[\\\frac{1}{2} > f(a) > f(b)$ .

Donc $f$ est décroissante sur $]5;+\infty[$ .

Conclusion: En recoupant les intervalles, $f$ est décroissante sur $\xi$

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Bonjour, Pourriez-vous m'aider pour les exercices en pdf s'il vous plait? Merci

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