Réponse :

Re bonjour j'ai quelques minutes ,j'en profite pour te répondre

Explications étape par étape :

f(x)=x-e^-2x            Df=R

1) limites

si x tend vers -oo  f(x) trend vers -oo-(+oo)=-oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo-0+=+oo

2) Dérivée f'(x)=1+2e^-2x cette dérivée est la somme de 2 valeurs >0 donc f'(x)est toujours >0  et  par conséquent f(x) est croissante

Tableau de signe de f'(x) et de variations de f(x)

x     -oo                                      +oo

f'(x)                     +

f(x)   -oo               croi                   +oo

3) Compte tenu de la continuité et de la monotonie de f(x) , d'après le TVI f(x)=0 admet une et une seule solution

on note que f(0)=-1 et que f(1)=1-1/e² (valeur>0)

donc f(x)=0 pour x=alpha  avec 0<alpha<1

avec ta calculatrice calcule plus précisément la valeur de "alpha"

4) f(x) est<0 sur ]-oo; alpha[ et f(x)>0sur ]alpha; +oo[