Bonjour , j'aurai besoin d'un peu d'aide pour la première question de cet exercice :
Voici l'énoncé :
On utilise la propriété suivante :
Soit p un nombre entier naturel.
Si p² est pair , alors p est pair.
Pour démontrer que Racine carée de 2 n'est pas un nombre rationnel ,on utilise un raisonnement par l'absurde. Supposons que Racine carée de 2 est un nombre rationnel.
Il existe alors deux nombres entiers positifs p et q tels que Racine carée de 2 = p sur q , la fraction p sur q étant irréductible.
Les nombres p et q sont premiers entre eux.
1) Démontrer que p² = 2q²
2) En déduire que p est pair. On note alors p=2p1 , où p1 est un entier positif. ( Le 1 est un symbole pour différencier.)
3) En déduire que q² est pair , puis que le nombre q est pair.
4) Que peut-on alors déduire pour la fraction p sur q ?
5) Conclure.
Merci d'avance
Voici l'énoncé :
On utilise la propriété suivante :
Soit p un nombre entier naturel.
Si p² est pair , alors p est pair.
Pour démontrer que Racine carée de 2 n'est pas un nombre rationnel ,on utilise un raisonnement par l'absurde. Supposons que Racine carée de 2 est un nombre rationnel.
Il existe alors deux nombres entiers positifs p et q tels que Racine carée de 2 = p sur q , la fraction p sur q étant irréductible.
Les nombres p et q sont premiers entre eux.
1) Démontrer que p² = 2q²
2) En déduire que p est pair. On note alors p=2p1 , où p1 est un entier positif. ( Le 1 est un symbole pour différencier.)
3) En déduire que q² est pair , puis que le nombre q est pair.
4) Que peut-on alors déduire pour la fraction p sur q ?
5) Conclure.
Merci d'avance
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Réponse :
1) démontrer que p² = 2 q²
on suppose que √2 est rationnel ⇔ √2 = p/q ⇔ (√2)² = (p/q)²
⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q² p et q des entiers positifs
2) en déduire que p est pair
puisque p² est pair alors on en déduit que p est pair
3) en déduire que q² est pair
p² = 2q² ⇔ q² = p²/2 ⇔ q² = (2 p1)²/2 = 2 p²1 donc q² est pair
puisque q² est pair alors q est pair
4) p/q = 2 q/2 p1 est une fraction non irréductible
5) conclure
d'après l'hypothèse de départ p/q est irréductible c'est à dire que p et q
sont premiers entre eux donc ils ne peuvent pas être pairs simultanément, on abouti donc à une contradiction
donc √2 n'est pas un rationnel; il est donc irrationnel
Explications étape par étape :