Bonjour, j'aurais besoin d'aide à cet exercice de mon devoir de maths. Merci d'avance :).... Pergunta de ideia deXorionx

Xorionx @Xorionx

June 2019 1 96 Report

Bonjour, j'aurais besoin d'aide à cet exercice de mon devoir de maths.
Merci d'avance :)

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godetcyril

Réponse : 1) $\lim_{x \to -\infty} xe^{x}=0$ par croissance comparée.

De plus, $\lim_{x \to -\infty} e^{x}-1=-1$

d'où $\lim_{x \to -\infty} f(x)=0$ .

2) a) Il faut développer $x\left(1+\frac{1}{e^{x}-1} \right)$ et retrouver f(x).

b) La limite en découle en utilisant la forme de la question 2)a).

3) f est continue en 0 si et seulement si $\lim_{x \to 0} f(x)=f(0)=1$ .

Calculons $\lim_{x \to 0} f(x)$ .

$\lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x}}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} e^{x}$ .

Calculons $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{e^{x}-1}{x} } .\\ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ avec $g(x)=e^{x}$ .

On reconnait le taux de variation de $g(x)=e^{x}$ en 0 et on a:

$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} =g'(0)$

$g'(x)=(e^{x})'=e^{x}$ donc $g'(0)=e^{0}=1$ , d'où $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} =1$ , d'où:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{e^{x}-1}{x} } =1$ .

Donc $\lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x}}{e^{x}-1} =1$ .

Comme $\lim_{x \to 0} f(x)= f(0)=1$ , f est continue en 0.

4) Il faut considérer la fonction $x \mapsto e^{x}-x-1$ , établir son tableau de variations, pour montrer que $e^{x}-x-1 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

5) $f$ étant le quotient de deux fonctions, il faut utiliser la formule de dérivation: Soient $u$ et $v$ deux fonctions, alors $\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}$ .

Explications étape par étape

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xorionx Merci beaucoup! je voudrais juste savoir comment vous êtes passé à x/e^x-1 à la 3eme question, si c'est possible.

xorionx En classe, nous n'avons pas travaillé sur le taux de variation. Est-ce qu'il y aurait une autre méthode? On posait plutôt X=... Et on utilisait également le théorème des croissances comparées.

xorionx bonjour! je m'excuse du dérangement, ce serait juste pour la dernière question: pour le tableau de variation je n'arrive pas à trouver de valeur pour fx avec x=0....

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