Réponse :

EX1

pour tout entier naturel n;  Un = (2 n - 5)/(n + 1)

1) calculer   U0 , U3  et U9

U0 = - 5

U3 = (2*3 - 5)/(3+1) = 1/4

U9 = (2*9 - 5)/(9+1) = 13/10

2) le premier terme de la suite  vaut :  U0 = - 5

3) exprimer Un+1 en fonction de n

    Un+1 = (2(n+1) - 5)/(n+1 + 1)  = (2 n + 2 - 5)/(n+2) = (2 n - 3)/(n+2)

4) étudier la monotonie de la suite

soit f une fonction définie sur [0 ; + ∞[ et la suite Un = f(n)

f(x) = (2 x - 5)/(x+1) ; f est dérivable sur [0 ; + ∞[

et f '(x) = (2 x - 5 - 2(x+1))/(x+1)² = - 7/(x + 1)²  or  (x+1)² > 0  et - 7 < 0

donc f '(x) < 0  donc f est décroissante sur [0 ; + ∞[  et (Un) est décroissante sur N

Explications étape par étape