Réponse :

f(x) = 2 x³ + x² + x + 2

a) calculer f '(x)

f '(x) = 6 x² + 2 x + 1

b) expliquer pourquoi pour tout réel x   f '(x) > 0

f ' (x) = 6 x² + 2 x + 1 = 0

Δ = 4 - 24 = - 20  < 0  pas de racines

le signe de f '(x) dépend dans ce cas du signe de a

a = 6 > 0 ⇒ f '(x) > 0

d) en déduire le sens de variation de f sur R

puisque f '(x) > 0 sur R ⇒ f(x) est strictement croissante sur R

x     - ∞                                     + ∞

f(x)  - ∞→→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞

              croissante                    

d) la courbe de f admet-elle une tangente horizontale  justifier

pour que la courbe admet une tangente horizontale, il faut que

f '(a) = 0 ; or on a vu que f '(x) > 0  donc la courbe de f n'admet pas de tangente horizontale  

Explications étape par étape