Réponse :

Re bonjour

Explications étape par étape :

Les point A, B ,C définissent un plan si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires

vecAB(5-1=4; 5-5=0 et -1-3=-4   ) vecAB(4; 0; -4)

vecAC(9-1=8; 5-5=0  et 1-3=-2  ) vecAC(8; 0; -2)

on note que 8/4=2 et que -2/-4=1/2 les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires; ils définissent donc  le plan (A,B,C).

2-a)    tout ce qui suit est en vecteurs ajoute les flèches.

GA+GB+GC=0

GA+GA+AB+GA+AC=0

3AG=AB+AC

AG=(AB+AC)/3 il existe donc un seul point G tel que GA+GB+GC=0 car les vecteurs AB et AC sont bien définis

Coordonnées de G : G est l'mage de A par translation de vecteur (AB+AC)/3

xG=xA+x(AB+AC)/3=1+4=5

yG=yA+y (AB+AC)/3=5+0=5

zG=zA+z(AB+AC)/3=3-2=1

Coordonnées de G(5; 5; 1)

2-b) (1/3)(BA+BC)=(1/3)(BG+GA+BG+GC) or GA+GC=BG

ce qui donne (1/3)(3BG)=BG

2-c) le point G est le centre de gravité du triangle ABC ; il appartient au plan (A,B,C) car il est colinéaire avec le vec(BA+BC)

3) S(5;-7;1)

Coordonnées du vecSG (5-5=0; 5+7=12; 1-1=0)    vecSG(0; 12; 0)

calculons les produits scalaires  

vecSG*vecAB=0*4+12*0+0*(-4)=0

vecSG*vecAC=0*8+12*0+0*(-2)=0

La droite (SG) est orthogonale avec les droites (AB) et (AC)  le vecteur SG est un vecteur normal pour le plan (A,B,C) et comme G appartient au plan(A,B,C) ,G est le projeté orthogonal de S sur ce plan.