Réponse :

f(x) = - x³ + 9 x² - 24 x + 20

1) faire une conjecture sur les variations de f

sur les intervalles [0 ; 2] et [4 ; 6] la fonction f est décroissante  

lorsque  x ∈ [2 ; 4] , la fonction f est croissante  

2) calculer f '(x)

f est une fonction polynôme est dérivable sur [0 ; 6] et sa dérivée f ' est :

   f '(x) = - 3 x² + 18 x - 24

3) a) développer  (- 3 x + 6)(x - 4)

(- 3 x + 6)(x - 4) = - 3 x² + 12 x + 6 x - 24 = - 3 x² + 18 x - 24

   b) en déduire que f '(x) = - 3(x - 2)(x - 4)

f '(x) = - 3 x² + 18 x - 24 = (- 3 x + 6)(x - 4) = - 3(x - 2)(x - 4)

   c) déterminer le signe de f '(x) sur [0 ; 6]

          x      0             2             4             6  

        - 3             -                -              -

       x - 2           -        0      +             +  

       x - 4           -                 -       0     +        

        f '(x)          -         0      +       0     -

4) construire le tableau de variation de f

            x                0                          2                         4                             6

variation de f(x)     20 →→→→→→→→→→ 0→→→→→→→→→→→ 4 →→→→→→→→→→→ - 16

                                     décroissante        croissante       décroissante

Explications étape par étape :