Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

f est de la forme u*v avec :

u=10x+4 donc u'=10

v=5x²+1 donc v'=10x

f '(x)=[10(5x²+1)-10x(10x+4)] /  (5x²+1)²

f '(x)=(-50x²-40x+10) /  (5x²+1)²

f '(x)=10(-5x²-4x+1) / (5x²+1)²

2)

f '(x) est du signe de (-5x²-4x+1) qui est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.

Δ=b²-4ac=(-4)²-4(-5)(1)=36

√36=6

x1=(4+6)/-10=-1

x2=(4-6)/-10=0.2

Variation :

x--------->-∞................x1....................x2...................+∞

f '(x)------>.........-..........0.........+...........0.....-..............

f(x)-------->........D.........?..........C..........?.......D.........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

f(x1)  =  -1 et f(x2)=5

3)

Equa tgte en x=0 :

y = f '(0) (x-0)+f(0)

f '(0)=10 et f(0)=4

y=10x+4

4)

On étudie le signe de E(x)= f(x)-(10x+4) :

E(x)=(10x+4) / (5x²+1) - (10x+4)

On réduit au même dénominateur :

E(x)=[(10x+4) -(10x+4)(5x²+1)] / (5x²+1)

On met (10x+4) en facteur .

E(x)=[(10x+4)(1-(5x²+1))] / (5x²+1)

E(x)=[(10x+4)(-5x²)/(5x²+1)

E(x)=[5x²(-10x-4)] / (5x²+1)

Les facteurs 5x² et (5x²+1) sont positifs donc E(x) est du signe de (-10x-4).

-10x-4  > 0 pour x < -2/5

Donc :

Sur ]-∞;-2/5[ , E(x)  >  0 et Cf au-dessus de la tgte en A.

Sur ]-2/5;+∞[ , E(x) <  0 et Cf sous la tgte en A.

Pour x=2.5  Cf et la tgte sont sécantes.

Pour x=0 : point de tangence.

Voir graph pour contrôle.