Bonjour j'aurais besoin d'aide svp? Merci d'avance 1) résoudre dans z² : 5x-7y =5.... Pergunta de ideia deFaissalbouchar

May 2019 1 77 Report

Bonjour j'aurais besoin d'aide svp? Merci d'avance
1) résoudre dans z² : 5x-7y =5

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MisterFloquet La première chose à remarquer est que pgcd $(5,7)=1$ donc par le théorème de Bachet-Bézout, il existe $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ tel que : $5a+7b=1$
Essayons de trouver une solution particulière à : $5a+7b=1$ . On a directement que pour $a=3, b=-2$ ça fonctionne.
Multiplions cette équation par $5$ et on obtient : $5\times 15 -7\times 10=5$
En particulier : $5x-7y=5=5\times 15-7\times -10 \Leftrightarrow 5(x-15)-7(y-10)=0 \Leftrightarrow$ $5(x-15)=7(y-10).$
On remarque ensuite que $7 \mid 5(x-15)$ or pgcd $(7,5)=1$ donc d'après le lemme de Gauss on a que $7 \mid (x-15)$ . Donc il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $7k=x-15 \Leftrightarrow x=7k+15$ .
Le raisonnement est le même pour trouver $y=5k+10, k\in \mathbb{Z}$ .
Enfin $\mathcal{S}=\{(7k+15,5k+10), \ k \in \mathbb{Z}\}$ .

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MisterFloquet Enfin c'est pas forcément le même k qui divise (x-15) et (y-10) mais si tu prends respectivement k et k' différents et que tu remplaces dans l'équation initiale tu trouveras k=k'. D'où le passage un peu rapide...