Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
les exemple de nombres rationnels sont
1/4 ; 3/2 ; 2/3; .......
2) démontrons par l'absurde que √2 n'est pas rationnel
SUPPOSONS que √2 est rationnel; donc on peut écrire √2 = p/q
où p et q sont nombres entiers premiers entre eux donc p/q est irréductible
(√2)² = (p/q)² ⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q² donc p² est pair ⇒ p est pair
puisque p est pair donc il existe un entier k tel que p = 2 k avec k∈Z
(2k)² = 2q² ⇔ 4k² = 2 q² ⇔ q² = 2k² donc q² est pair ⇒ q est aussi pair
PUISQUE p est pair et q est pair donc ils sont tous les divisibles par 2
Donc ils ne sont pas premier entre eux
il y a contradiction avec l'hypothèse de départ par conséquent √2 est irrationnel
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Réponse :
Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
les exemple de nombres rationnels sont
1/4 ; 3/2 ; 2/3; .......
2) démontrons par l'absurde que √2 n'est pas rationnel
SUPPOSONS que √2 est rationnel; donc on peut écrire √2 = p/q
où p et q sont nombres entiers premiers entre eux donc p/q est irréductible
(√2)² = (p/q)² ⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q² donc p² est pair ⇒ p est pair
puisque p est pair donc il existe un entier k tel que p = 2 k avec k∈Z
(2k)² = 2q² ⇔ 4k² = 2 q² ⇔ q² = 2k² donc q² est pair ⇒ q est aussi pair
PUISQUE p est pair et q est pair donc ils sont tous les divisibles par 2
Donc ils ne sont pas premier entre eux
il y a contradiction avec l'hypothèse de départ par conséquent √2 est irrationnel
Explications étape par étape :