Bonjour,

On considère la fonction f définie sur IR par  [tex]f(x) = -5x^2 + 13x-6[/tex] et P sa courbe représentative.

1) Les points d'intersection de la courbe P avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation [tex]f(x)=0[/tex]

Pour trouver ces points, on doit donc résoudre l'équation : [tex]-5x^2+13x-6=0[/tex]

Pour cela, on peut utiliser la formule quadratique : [tex]x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

où [tex]a=-5,b=13,c=-6[/tex]

Calculons le discriminant Δ :

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(13)^2-4\times (-5)\times (-6)\\\Delta=169-120\\\Delta=49\\[/tex]

Le discriminant Δ est positif, donc l'équation a deux solutions réelles.

Calculons les deux solutions en utilisant la formule quadratique :

[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\x_1=\dfrac{-13-7}{-10}\\\\\\\x_1=\dfrac{-20}{-10}\\\\\\x_1=2[/tex]

[tex]x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\x_2=\dfrac{-13+7}{-10}\\\\\\x_2=\dfrac{-6}{-10}\\\\\\x_2=\dfrac{3}{5}[/tex]

Les coordonnées des points d'intersection de la courbe P avec l'axe des abscisses sont donc (2,0) et (3/5,0).

2) En déduire l'axe de symétrie et le sommet de P.

La parabole représentée par [tex]f(x)[/tex] est symétrique par rapport à l'axe de symétrie, qui est donné par l'équation [tex]x=\alpha[/tex], où [tex]\alpha[/tex] est la moyenne des deux racines.

[tex]\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\\\\\\\alpha=\dfrac{2+\frac{3}{5}}{2}\\\\\\\alpha=\dfrac{\frac{10}{5}+\frac{3}{5}}{2}\\\\\alpha=\dfrac{\frac{13}{5}}{2}\\\\\alpha=\dfrac{13}{10}[/tex]

Donc, l'axe de symétrie est x=13/10

Le sommet de la parabole est le point sur l'axe de symétrie où [tex]f(x)[/tex] est minimal (car le coefficient de [tex]x^2[/tex] est négatif).

Le sommet a donc pour abscisse [tex]\alpha[/tex] et pour ordonnée [tex]f(\alpha)[/tex].

[tex]f\left(\dfrac{13}{10}\right)=-5\times\left(\dfrac{13}{10}\right)^2+13\times\dfrac{13}{10}-6\\\\\\f\left(\dfrac{13}{10}\right)=-5\times\left(\dfrac{169}{100}\right)+\dfrac{13\times13}{10}-6\\\\\f\left(\dfrac{13}{10}\right)=-5\times\dfrac{169}{100}+\dfrac{169}{10}\\\\\\f\left(\dfrac{13}{10}\right)=-\dfrac{169}{20}+\dfrac{169}{10}-6\\\\\\f\left(\dfrac{13}{10}\right)=\dfrac{169}{20}+\dfrac{338}{20}-\dfrac{120}{20}\\\\\\f\left(\dfrac{13}{10}\right)=\dfrac{49}{20}[/tex]

Le sommet de P est donc (13/10, 49/20).

Voilà :)