Bonjour
Je n'arrive pas à résoudre une équation complexe. Merci d'avance pour votre aide. L'énoncé est Le suivant :
Remplacez z par iy dans l'équation suivante afin de démontrer que l'équation admet une unique solution imaginaire pure :
Z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i = 0
Je n'arrive pas à résoudre une équation complexe. Merci d'avance pour votre aide. L'énoncé est Le suivant :
Remplacez z par iy dans l'équation suivante afin de démontrer que l'équation admet une unique solution imaginaire pure :
Z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i = 0
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Z³ - (4+i)Z² + (13+4i)Z - 13i = 0 ... ( 1 )(iy)³ - (4+i)(iy) ² + (13+4i)(iy) - 13i = 0
(iy)² = -y²
(iy)²(iy) - (-4y² - iy²) + 13iy - 4y -13i = 0
-iy³ + 4y² + iy² + 13iy - 4y - 13i = 0
4y² - 4y + i(-y³ + y² +13y - 13) = 0
4y² - 4y = 0
4y(y - 1) = 0
y = 1
-y³ + y² +13y - 13 = 0
y = 1
y = ±√13 inaccepta
Donc y = 1 et Z' = i
l'équation ... ( 1 ) devient:
(Z-i)(aZ² + bZ + c) = 0 .. ( 2 )
aZ³ + bZ² + cZ - iaZ² - ibZ - ic = 0
aZ³ +(b - ia)Z² +(c - ib)Z - ic = 0
Nous avons:
Z³ - (4+i)Z² + (13+4i)Z - 13i = 0
Donc ..
a = 1
b - ia = 4 + i ==> b = 4
c - ib = 13i
-ic = -13i ==> c = 13
l'équation .. ( 2 ) devient:
(Z-1)(Z² + 4Z + 13) = 0
(Z-i) = 0 ==> Z' = i
(Z² + 4Z + 13) = 0
Δ = 4² - 4 × 1 × 13 = -36 = 36i²
Z'' = (-4 - 6i) / 2 = -2 -3i
Z''' = (-4 + 6i) / 2 = -2 +3i
Finallment ..
Z' = i , c'est l'unique solution pure imaginaire et les autres solutions sons Z'' = -2 -3i et Z''' = -2 +3i